有限数学示例

$\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{x^{2}}{48}$ 。

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{48}$

解题步骤 2

等式两边同时乘以 $64$ 。

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

约去 $64$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

约去公因数。

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

解题步骤 3.1.1.2

重写表达式。

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

解题步骤 3.2.1.2

将 $64$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

解题步骤 3.2.1.3

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.3.1

将 $- \frac{x^{2}}{48}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{48}$

解题步骤 3.2.1.3.2

从 $64$ 中分解出因数 $16$ 。

$y^{2} = 64 + 16 (4) \frac{- x^{2}}{48}$

解题步骤 3.2.1.3.3

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

解题步骤 3.2.1.3.4

约去公因数。

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

解题步骤 3.2.1.3.5

重写表达式。

$y^{2} = 64 + 4 \frac{- x^{2}}{3}$

解题步骤 3.2.1.4

组合 $4$ 和 $\frac{- x^{2}}{3}$ 。

$y^{2} = 64 + \frac{4 (- x^{2})}{3}$

解题步骤 3.2.1.5

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y^{2} = 64 + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

解题步骤 3.2.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = 64 - \frac{4 x^{2}}{3}$

解题步骤 4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$

解题步骤 5

化简 $\pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$ 。

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解题步骤 5.1

要将 $64$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

解题步骤 5.2

化简项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $64$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

解题步骤 5.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3 - 4 x^{2}}{3}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

从 $64 \cdot 3 - 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $64 \cdot 3$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) - 4 x^{2}}{3}}$

解题步骤 5.3.1.2

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})}{3}}$

解题步骤 5.3.1.3

从 $4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3 - x^{2})}{3}}$

解题步骤 5.3.2

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$

解题步骤 5.4

将 $\sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.5

化简分子。

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解题步骤 5.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2^{2} (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.5.2

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.6

将 $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.7

合并和化简分母。

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解题步骤 5.7.1

将 $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.7.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.7.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 5.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.7.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.7.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 5.7.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.8

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

解题步骤 6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

解题步骤 6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

解题步骤 6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

解题步骤 7

将 $\sqrt{3 (48 - x^{2})}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$3 (48 - x^{2}) \geq 0$

解题步骤 8

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 8.1.1

将 $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

解题步骤 8.1.2

化简左边。

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解题步骤 8.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

解题步骤 8.1.2.1.2

用 $48 - x^{2}$ 除以 $1$ 。

$48 - x^{2} \geq \frac{0}{3}$

解题步骤 8.1.3

化简右边。

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解题步骤 8.1.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$48 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 8.2

从不等式两边同时减去 $48$ 。

$- x^{2} \geq - 48$

解题步骤 8.3

将 $- x^{2} \geq - 48$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 8.3.1

将 $- x^{2} \geq - 48$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

解题步骤 8.3.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 48}{- 1}$

解题步骤 8.3.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.3.1

用 $- 48$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 48$

解题步骤 8.4

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{48}$

解题步骤 8.5

化简方程。

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解题步骤 8.5.1

化简左边。

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解题步骤 8.5.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{48}$

解题步骤 8.5.2

化简右边。

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解题步骤 8.5.2.1

化简 $\sqrt{48}$ 。

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解题步骤 8.5.2.1.1

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.5.2.1.1.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$| x | \leq \sqrt{16 (3)}$

解题步骤 8.5.2.1.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$| x | \leq \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

解题步骤 8.5.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \leq | 4 | \sqrt{3}$

解题步骤 8.5.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$| x | \leq 4 \sqrt{3}$

解题步骤 8.6

将 $| x | \leq 4 \sqrt{3}$ 书写为分段式。

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解题步骤 8.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 8.6.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 4 \sqrt{3}$

解题步骤 8.6.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 8.6.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 4 \sqrt{3}$

解题步骤 8.6.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 4 \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq 4 \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 8.7

求 $x \leq 4 \sqrt{3}$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

解题步骤 8.8

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 4 \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 8.8.1

将 $- x \leq 4 \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 8.8.1.1

将 $- x \leq 4 \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

解题步骤 8.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 8.8.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

解题步骤 8.8.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

解题步骤 8.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 8.8.1.3.1

移动 $\frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x \geq - 1 \cdot (4 \sqrt{3})$

解题步骤 8.8.1.3.2

将 $- 1 \cdot (4 \sqrt{3})$ 重写为 $- (4 \sqrt{3})$ 。

$x \geq - (4 \sqrt{3})$

解题步骤 8.8.1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$x \geq - 4 \sqrt{3}$

解题步骤 8.8.2

求 $x \geq - 4 \sqrt{3}$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 4 \sqrt{3} \leq x < 0$

解题步骤 8.9

求解的并集。

$- 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

解题步骤 9

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$

集合符号：

${x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

解题步骤 10

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- 8, 8]$

集合符号：

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

解题步骤 11

确定定义域和值域。

定义域： $[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}], {x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

值域： $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

解题步骤 12

有限数学 示例

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