有限数学示例

(9, 8)

$(9, 8)$ ,

(9, 3)

$(9, 3)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将

9

$9$ 乘以

9

$9$ 。

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

解题步骤 2.2.1.2

将

8

$8$ 乘以

3

$3$ 。

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

解题步骤 2.2.2

将

81

$81$ 和

24

$24$ 相加。

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

解题步骤 3

求

a⃗

$a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对

9

$9$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对

8

$8$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

解题步骤 3.2.3

将

81

$81$ 和

64

$64$ 相加。

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

解题步骤 4

求

b⃗

$b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对

9

$9$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对

3

$3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

解题步骤 4.2.3

将

81

$81$ 和

9

$9$ 相加。

| b⃗ | = \sqrt{90}

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

解题步骤 4.2.4

将

90

$90$ 重写为

3^{2} \cdot 10

$3^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

从

90

$90$ 中分解出因数

9

$9$ 。

| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

解题步骤 4.2.4.2

将

9

$9$ 重写为

3^{2}

$3^{2}$ 。

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

解题步骤 4.2.5

从根式下提出各项。

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去

105

$105$ 和

3

$3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从

105

$105$ 中分解出因数

3

$3$ 。

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从

\sqrt{145} (3 \sqrt{10})

$\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ 中分解出因数

3

$3$ 。

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

解题步骤 6.2.2

将

$145$ 乘以

$10$ 。

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

解题步骤 6.3

化简分母。

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解题步骤 6.3.1

将

$1450$ 重写为

$5^{2} \cdot 58$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

从

$1450$ 中分解出因数

$25$ 。

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

解题步骤 6.3.1.2

将

$25$ 重写为

$5^{2}$ 。

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

解题步骤 6.3.2

从根式下提出各项。

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

解题步骤 6.4

约去

$35$ 和

$5$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从

$35$ 中分解出因数

$5$ 。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.1

从

$5 \sqrt{58}$ 中分解出因数

$5$ 。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

解题步骤 6.4.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

解题步骤 6.4.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

解题步骤 6.5

将

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

解题步骤 6.6

合并和化简分母。

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解题步骤 6.6.1

将

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

解题步骤 6.6.2

对

$\sqrt{58}$ 进行

$1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

解题步骤 6.6.3

对

$\sqrt{58}$ 进行

$1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

解题步骤 6.6.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.6.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

解题步骤 6.6.6

将

${\sqrt{58}}^{2}$ 重写为

$58$ 。

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解题步骤 6.6.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{58}$ 重写成

$58^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.6.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.6.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.6.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

解题步骤 6.6.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

解题步骤 6.7

计算

$\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ 。

$θ = 23.19859051$

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