有限数学示例

$x > 0$ , $n = 12$ , $p = 0.3$

解题步骤 1

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$0.7$

解题步骤 2

当成功次数的值 $x$ 以区间形式给出时， $x$ 的概率为介于 $0$ 和 $n$ 之间的所有可能 $x$ 值的概率之和。在本例中，即 $p (x > 0) = P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) + P (x = 4) + P (x = 5) + P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8) + P (x = 9) + P (x = 10) + P (x = 11) + P (x = 12)$ 。

$p (x > 0) = P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) + P (x = 4) + P (x = 5) + P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8) + P (x = 9) + P (x = 10) + P (x = 11) + P (x = 12)$

解题步骤 3

求 $P (1)$ 的概率。

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解题步骤 3.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{12}C_{1} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 3.2

求 ${}_{12}C_{1}$ 的值。

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解题步骤 3.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{12}C_{1} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 3.2.2

填入已知值。

$\frac{(12)!}{(1)! (12 - 1)!}$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

从 $12$ 中减去 $1$ 。

$\frac{(12)!}{(1)! (11)!}$

解题步骤 3.2.3.2

将 $(12)!$ 重写为 $12 \cdot 11!$ 。

$\frac{12 \cdot 11!}{(1)! (11)!}$

解题步骤 3.2.3.3

约去 $11!$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 11!}{(1)! (11)!}$

解题步骤 3.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{12}{(1)!}$

解题步骤 3.2.3.4

将 $(1)!$ 展开为 $1$ 。

$\frac{12}{1}$

解题步骤 3.2.3.5

用 $12$ 除以 $1$ 。

$12$

解题步骤 3.3

把已知值填入方程。

$12 \cdot (0.3) \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 1}$

解题步骤 3.4

化简结果。

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解题步骤 3.4.1

计算指数。

$12 \cdot 0.3 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 1}$

解题步骤 3.4.2

将 $12$ 乘以 $0.3$ 。

$3.6 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 1}$

解题步骤 3.4.3

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$3.6 \cdot {0.7}^{12 - 1}$

解题步骤 3.4.4

从 $12$ 中减去 $1$ 。

$3.6 \cdot {0.7}^{11}$

解题步骤 3.4.5

对 $0.7$ 进行 $11$ 次方运算。

$3.6 \cdot 0.01977326$

解题步骤 3.4.6

将 $3.6$ 乘以 $0.01977326$ 。

$0.07118376$

解题步骤 4

求 $P (2)$ 的概率。

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解题步骤 4.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{12}C_{2} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 4.2

求 ${}_{12}C_{2}$ 的值。

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解题步骤 4.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{12}C_{2} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 4.2.2

填入已知值。

$\frac{(12)!}{(2)! (12 - 2)!}$

解题步骤 4.2.3

化简。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $12$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(12)!}{(2)! (10)!}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $(12)!$ 重写为 $12 \cdot 11 \cdot 10!$ 。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{(2)! (10)!}$

解题步骤 4.2.3.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.3.3.1

约去 $10!$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.3.1.1

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{(2)! (10)!}$

解题步骤 4.2.3.3.1.2

重写表达式。

$\frac{12 \cdot 11}{(2)!}$

解题步骤 4.2.3.3.2

将 $12$ 乘以 $11$ 。

$\frac{132}{(2)!}$

解题步骤 4.2.3.4

化简分母。

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解题步骤 4.2.3.4.1

将 $(2)!$ 展开为 $2 \cdot 1$ 。

$\frac{132}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{132}{2}$

解题步骤 4.2.3.5

用 $132$ 除以 $2$ 。

$66$

解题步骤 4.3

把已知值填入方程。

$66 \cdot {(0.3)}^{2} \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 2}$

解题步骤 4.4

化简结果。

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解题步骤 4.4.1

对 $0.3$ 进行 $2$ 次方运算。

$66 \cdot 0.09 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 2}$

解题步骤 4.4.2

将 $66$ 乘以 $0.09$ 。

$5.94 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 2}$

解题步骤 4.4.3

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$5.94 \cdot {0.7}^{12 - 2}$

解题步骤 4.4.4

从 $12$ 中减去 $2$ 。

$5.94 \cdot {0.7}^{10}$

解题步骤 4.4.5

对 $0.7$ 进行 $10$ 次方运算。

$5.94 \cdot 0.02824752$

解题步骤 4.4.6

将 $5.94$ 乘以 $0.02824752$ 。

$0.16779029$

解题步骤 5

求 $P (3)$ 的概率。

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解题步骤 5.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{12}C_{3} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 5.2

求 ${}_{12}C_{3}$ 的值。

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解题步骤 5.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{12}C_{3} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 5.2.2

填入已知值。

$\frac{(12)!}{(3)! (12 - 3)!}$

解题步骤 5.2.3

化简。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $12$ 中减去 $3$ 。

$\frac{(12)!}{(3)! (9)!}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $(12)!$ 重写为 $12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!$ 。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{(3)! (9)!}$

解题步骤 5.2.3.3

约去 $9!$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{(3)! (9)!}$

解题步骤 5.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{(3)!}$

解题步骤 5.2.3.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.4.1

将 $12$ 乘以 $11$ 。

$\frac{132 \cdot 10}{(3)!}$

解题步骤 5.2.3.4.2

将 $132$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1320}{(3)!}$

解题步骤 5.2.3.5

化简分母。

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解题步骤 5.2.3.5.1

将 $(3)!$ 展开为 $3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{1320}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.5.2

乘以 $3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.2.3.5.2.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1320}{6 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.5.2.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1320}{6}$

解题步骤 5.2.3.6

用 $1320$ 除以 $6$ 。

$220$

解题步骤 5.3

把已知值填入方程。

$220 \cdot {(0.3)}^{3} \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 3}$

解题步骤 5.4

化简结果。

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解题步骤 5.4.1

对 $0.3$ 进行 $3$ 次方运算。

$220 \cdot 0.027 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 3}$

解题步骤 5.4.2

将 $220$ 乘以 $0.027$ 。

$5.94 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 3}$

解题步骤 5.4.3

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$5.94 \cdot {0.7}^{12 - 3}$

解题步骤 5.4.4

从 $12$ 中减去 $3$ 。

$5.94 \cdot {0.7}^{9}$

解题步骤 5.4.5

对 $0.7$ 进行 $9$ 次方运算。

$5.94 \cdot 0.0403536$

解题步骤 5.4.6

将 $5.94$ 乘以 $0.0403536$ 。

$0.23970042$

解题步骤 6

求 $P (4)$ 的概率。

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解题步骤 6.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{12}C_{4} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 6.2

求 ${}_{12}C_{4}$ 的值。

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解题步骤 6.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{12}C_{4} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 6.2.2

填入已知值。

$\frac{(12)!}{(4)! (12 - 4)!}$

解题步骤 6.2.3

化简。

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解题步骤 6.2.3.1

从 $12$ 中减去 $4$ 。

$\frac{(12)!}{(4)! (8)!}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $(12)!$ 重写为 $12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!$ 。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{(4)! (8)!}$

解题步骤 6.2.3.3

约去 $8!$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{(4)! (8)!}$

解题步骤 6.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{(4)!}$

解题步骤 6.2.3.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.3.4.1

将 $12$ 乘以 $11$ 。

$\frac{132 \cdot 10 \cdot 9}{(4)!}$

解题步骤 6.2.3.4.2

将 $132$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1320 \cdot 9}{(4)!}$

解题步骤 6.2.3.4.3

将 $1320$ 乘以 $9$ 。

$\frac{11880}{(4)!}$

解题步骤 6.2.3.5

化简分母。

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解题步骤 6.2.3.5.1

将 $(4)!$ 展开为 $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{11880}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3.5.2

乘以 $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.2.3.5.2.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{11880}{12 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3.5.2.2

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$\frac{11880}{24 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3.5.2.3

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$\frac{11880}{24}$

解题步骤 6.2.3.6

用 $11880$ 除以 $24$ 。

$495$

解题步骤 6.3

把已知值填入方程。

$495 \cdot {(0.3)}^{4} \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 4}$

解题步骤 6.4

化简结果。

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解题步骤 6.4.1

对 $0.3$ 进行 $4$ 次方运算。

$495 \cdot 0.0081 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 4}$

解题步骤 6.4.2

将 $495$ 乘以 $0.0081$ 。

$4.0095 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 4}$

解题步骤 6.4.3

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$4.0095 \cdot {0.7}^{12 - 4}$

解题步骤 6.4.4

从 $12$ 中减去 $4$ 。

$4.0095 \cdot {0.7}^{8}$

解题步骤 6.4.5

对 $0.7$ 进行 $8$ 次方运算。

$4.0095 \cdot 0.05764801$

解题步骤 6.4.6

将 $4.0095$ 乘以 $0.05764801$ 。

$0.23113969$

解题步骤 7

求 $P (5)$ 的概率。

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解题步骤 7.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{12}C_{5} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 7.2

求 ${}_{12}C_{5}$ 的值。

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解题步骤 7.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{12}C_{5} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 7.2.2

填入已知值。

$\frac{(12)!}{(5)! (12 - 5)!}$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

从 $12$ 中减去 $5$ 。

$\frac{(12)!}{(5)! (7)!}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $(12)!$ 重写为 $12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$ 。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{(5)! (7)!}$

解题步骤 7.2.3.3

约去 $7!$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{(5)! (7)!}$

解题步骤 7.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{(5)!}$

解题步骤 7.2.3.4

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.4.1

将 $12$ 乘以 $11$ 。

$\frac{132 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{(5)!}$

解题步骤 7.2.3.4.2

将 $132$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1320 \cdot 9 \cdot 8}{(5)!}$

解题步骤 7.2.3.4.3

将 $1320$ 乘以 $9$ 。

$\frac{11880 \cdot 8}{(5)!}$

解题步骤 7.2.3.4.4

将 $11880$ 乘以 $8$ 。

$\frac{95040}{(5)!}$

解题步骤 7.2.3.5

化简分母。

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解题步骤 7.2.3.5.1

将 $(5)!$ 展开为 $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{95040}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.5.2

乘以 $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.2.3.5.2.1

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{95040}{20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.5.2.2

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$\frac{95040}{60 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.5.2.3

将 $60$ 乘以 $2$ 。

$\frac{95040}{120 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.5.2.4

将 $120$ 乘以 $1$ 。

$\frac{95040}{120}$

解题步骤 7.2.3.6

用 $95040$ 除以 $120$ 。

$792$

解题步骤 7.3

把已知值填入方程。

$792 \cdot {(0.3)}^{5} \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 5}$

解题步骤 7.4

化简结果。

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解题步骤 7.4.1

对 $0.3$ 进行 $5$ 次方运算。

$792 \cdot 0.00243 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 5}$

解题步骤 7.4.2

将 $792$ 乘以 $0.00243$ 。

$1.92456 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 5}$

解题步骤 7.4.3

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$1.92456 \cdot {0.7}^{12 - 5}$

解题步骤 7.4.4

从 $12$ 中减去 $5$ 。

$1.92456 \cdot {0.7}^{7}$

解题步骤 7.4.5

对 $0.7$ 进行 $7$ 次方运算。

$1.92456 \cdot 0.0823543$

解题步骤 7.4.6

将 $1.92456$ 乘以 $0.0823543$ 。

$0.15849579$

解题步骤 8

求 $P (6)$ 的概率。

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解题步骤 8.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{12}C_{6} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 8.2

求 ${}_{12}C_{6}$ 的值。

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解题步骤 8.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{12}C_{6} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 8.2.2

填入已知值。

$\frac{(12)!}{(6)! (12 - 6)!}$

解题步骤 8.2.3

化简。

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解题步骤 8.2.3.1

从 $12$ 中减去 $6$ 。

$\frac{(12)!}{(6)! (6)!}$

解题步骤 8.2.3.2

将 $(12)!$ 重写为 $12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!$ 。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{(6)! (6)!}$

解题步骤 8.2.3.3

约去 $6!$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{(6)! (6)!}$

解题步骤 8.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{(6)!}$

解题步骤 8.2.3.4

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.4.1

将 $12$ 乘以 $11$ 。

$\frac{132 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{(6)!}$

解题步骤 8.2.3.4.2

将 $132$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1320 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{(6)!}$

解题步骤 8.2.3.4.3

将 $1320$ 乘以 $9$ 。

$\frac{11880 \cdot 8 \cdot 7}{(6)!}$

解题步骤 8.2.3.4.4

将 $11880$ 乘以 $8$ 。

$\frac{95040 \cdot 7}{(6)!}$

解题步骤 8.2.3.4.5

将 $95040$ 乘以 $7$ 。

$\frac{665280}{(6)!}$

解题步骤 8.2.3.5

化简分母。

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解题步骤 8.2.3.5.1

将 $(6)!$ 展开为 $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{665280}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.2

乘以 $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 8.2.3.5.2.1

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$\frac{665280}{30 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.2.2

将 $30$ 乘以 $4$ 。

$\frac{665280}{120 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.2.3

将 $120$ 乘以 $3$ 。

$\frac{665280}{360 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.2.4

将 $360$ 乘以 $2$ 。

$\frac{665280}{720 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.2.5

将 $720$ 乘以 $1$ 。

$\frac{665280}{720}$

解题步骤 8.2.3.6

用 $665280$ 除以 $720$ 。

$924$

解题步骤 8.3

把已知值填入方程。

$924 \cdot {(0.3)}^{6} \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 6}$

解题步骤 8.4

化简结果。

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解题步骤 8.4.1

对 $0.3$ 进行 $6$ 次方运算。

$924 \cdot 0.000729 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 6}$

解题步骤 8.4.2

将 $924$ 乘以 $0.000729$ 。

$0.673596 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 6}$

解题步骤 8.4.3

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$0.673596 \cdot {0.7}^{12 - 6}$

解题步骤 8.4.4

从 $12$ 中减去 $6$ 。

$0.673596 \cdot {0.7}^{6}$

解题步骤 8.4.5

对 $0.7$ 进行 $6$ 次方运算。

$0.673596 \cdot 0.117649$

解题步骤 8.4.6

将 $0.673596$ 乘以 $0.117649$ 。

$0.07924789$

解题步骤 9

求 $P (7)$ 的概率。

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解题步骤 9.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{12}C_{7} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 9.2

求 ${}_{12}C_{7}$ 的值。

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解题步骤 9.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{12}C_{7} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 9.2.2

填入已知值。

$\frac{(12)!}{(7)! (12 - 7)!}$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

从 $12$ 中减去 $7$ 。

$\frac{(12)!}{(7)! (5)!}$

解题步骤 9.2.3.2

将 $(12)!$ 重写为 $12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$ 。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{(7)! (5)!}$

解题步骤 9.2.3.3

约去 $7!$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{(7)! (5)!}$

解题步骤 9.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{(5)!}$

解题步骤 9.2.3.4

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.4.1

将 $12$ 乘以 $11$ 。

$\frac{132 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{(5)!}$

解题步骤 9.2.3.4.2

将 $132$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1320 \cdot 9 \cdot 8}{(5)!}$

解题步骤 9.2.3.4.3

将 $1320$ 乘以 $9$ 。

$\frac{11880 \cdot 8}{(5)!}$

解题步骤 9.2.3.4.4

将 $11880$ 乘以 $8$ 。

$\frac{95040}{(5)!}$

解题步骤 9.2.3.5

化简分母。

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解题步骤 9.2.3.5.1

将 $(5)!$ 展开为 $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{95040}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.3.5.2

乘以 $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 9.2.3.5.2.1

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{95040}{20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.3.5.2.2

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$\frac{95040}{60 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.3.5.2.3

将 $60$ 乘以 $2$ 。

$\frac{95040}{120 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.3.5.2.4

将 $120$ 乘以 $1$ 。

$\frac{95040}{120}$

解题步骤 9.2.3.6

用 $95040$ 除以 $120$ 。

$792$

解题步骤 9.3

把已知值填入方程。

$792 \cdot {(0.3)}^{7} \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 7}$

解题步骤 9.4

化简结果。

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解题步骤 9.4.1

对 $0.3$ 进行 $7$ 次方运算。

$792 \cdot 0.0002187 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 7}$

解题步骤 9.4.2

将 $792$ 乘以 $0.0002187$ 。

$0.1732104 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 7}$

解题步骤 9.4.3

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$0.1732104 \cdot {0.7}^{12 - 7}$

解题步骤 9.4.4

从 $12$ 中减去 $7$ 。

$0.1732104 \cdot {0.7}^{5}$

解题步骤 9.4.5

对 $0.7$ 进行 $5$ 次方运算。

$0.1732104 \cdot 0.16807$

解题步骤 9.4.6

将 $0.1732104$ 乘以 $0.16807$ 。

$0.02911147$

解题步骤 10

求 $P (8)$ 的概率。

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解题步骤 10.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{12}C_{8} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 10.2

求 ${}_{12}C_{8}$ 的值。

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解题步骤 10.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{12}C_{8} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 10.2.2

填入已知值。

$\frac{(12)!}{(8)! (12 - 8)!}$

解题步骤 10.2.3

化简。

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解题步骤 10.2.3.1

从 $12$ 中减去 $8$ 。

$\frac{(12)!}{(8)! (4)!}$

解题步骤 10.2.3.2

将 $(12)!$ 重写为 $12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!$ 。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{(8)! (4)!}$

解题步骤 10.2.3.3

约去 $8!$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{(8)! (4)!}$

解题步骤 10.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{(4)!}$

解题步骤 10.2.3.4

化简分子。

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解题步骤 10.2.3.4.1

将 $12$ 乘以 $11$ 。

$\frac{132 \cdot 10 \cdot 9}{(4)!}$

解题步骤 10.2.3.4.2

将 $132$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1320 \cdot 9}{(4)!}$

解题步骤 10.2.3.4.3

将 $1320$ 乘以 $9$ 。

$\frac{11880}{(4)!}$

解题步骤 10.2.3.5

化简分母。

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解题步骤 10.2.3.5.1

将 $(4)!$ 展开为 $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{11880}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 10.2.3.5.2

乘以 $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 10.2.3.5.2.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{11880}{12 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 10.2.3.5.2.2

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$\frac{11880}{24 \cdot 1}$

解题步骤 10.2.3.5.2.3

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$\frac{11880}{24}$

解题步骤 10.2.3.6

用 $11880$ 除以 $24$ 。

$495$

解题步骤 10.3

把已知值填入方程。

$495 \cdot {(0.3)}^{8} \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 8}$

解题步骤 10.4

化简结果。

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解题步骤 10.4.1

对 $0.3$ 进行 $8$ 次方运算。

$495 \cdot 0.00006561 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 8}$

解题步骤 10.4.2

将 $495$ 乘以 $0.00006561$ 。

$0.03247695 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 8}$

解题步骤 10.4.3

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$0.03247695 \cdot {0.7}^{12 - 8}$

解题步骤 10.4.4

从 $12$ 中减去 $8$ 。

$0.03247695 \cdot {0.7}^{4}$

解题步骤 10.4.5

对 $0.7$ 进行 $4$ 次方运算。

$0.03247695 \cdot 0.2401$

解题步骤 10.4.6

将 $0.03247695$ 乘以 $0.2401$ 。

$0.00779771$

解题步骤 11

求 $P (9)$ 的概率。

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解题步骤 11.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{12}C_{9} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 11.2

求 ${}_{12}C_{9}$ 的值。

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解题步骤 11.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{12}C_{9} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 11.2.2

填入已知值。

$\frac{(12)!}{(9)! (12 - 9)!}$

解题步骤 11.2.3

化简。

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解题步骤 11.2.3.1

从 $12$ 中减去 $9$ 。

$\frac{(12)!}{(9)! (3)!}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $(12)!$ 重写为 $12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!$ 。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{(9)! (3)!}$

解题步骤 11.2.3.3

约去 $9!$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{(9)! (3)!}$

解题步骤 11.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{(3)!}$

解题步骤 11.2.3.4

化简分子。

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解题步骤 11.2.3.4.1

将 $12$ 乘以 $11$ 。

$\frac{132 \cdot 10}{(3)!}$

解题步骤 11.2.3.4.2

将 $132$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1320}{(3)!}$

解题步骤 11.2.3.5

化简分母。

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解题步骤 11.2.3.5.1

将 $(3)!$ 展开为 $3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{1320}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.3.5.2

乘以 $3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 11.2.3.5.2.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1320}{6 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.3.5.2.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1320}{6}$

解题步骤 11.2.3.6

用 $1320$ 除以 $6$ 。

$220$

解题步骤 11.3

把已知值填入方程。

$220 \cdot {(0.3)}^{9} \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 9}$

解题步骤 11.4

化简结果。

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解题步骤 11.4.1

对 $0.3$ 进行 $9$ 次方运算。

$220 \cdot 0.00001968 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 9}$

解题步骤 11.4.2

将 $220$ 乘以 $0.00001968$ 。

$0.00433026 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 9}$

解题步骤 11.4.3

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$0.00433026 \cdot {0.7}^{12 - 9}$

解题步骤 11.4.4

从 $12$ 中减去 $9$ 。

$0.00433026 \cdot {0.7}^{3}$

解题步骤 11.4.5

对 $0.7$ 进行 $3$ 次方运算。

$0.00433026 \cdot 0.343$

解题步骤 11.4.6

将 $0.00433026$ 乘以 $0.343$ 。

$0.00148527$

解题步骤 12

求 $P (10)$ 的概率。

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解题步骤 12.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{12}C_{10} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 12.2

求 ${}_{12}C_{10}$ 的值。

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解题步骤 12.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{12}C_{10} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 12.2.2

填入已知值。

$\frac{(12)!}{(10)! (12 - 10)!}$

解题步骤 12.2.3

化简。

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解题步骤 12.2.3.1

从 $12$ 中减去 $10$ 。

$\frac{(12)!}{(10)! (2)!}$

解题步骤 12.2.3.2

将 $(12)!$ 重写为 $12 \cdot 11 \cdot 10!$ 。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{(10)! (2)!}$

解题步骤 12.2.3.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 12.2.3.3.1

约去 $10!$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.3.3.1.1

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{(10)! (2)!}$

解题步骤 12.2.3.3.1.2

重写表达式。

$\frac{12 \cdot 11}{(2)!}$

解题步骤 12.2.3.3.2

将 $12$ 乘以 $11$ 。

$\frac{132}{(2)!}$

解题步骤 12.2.3.4

化简分母。

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解题步骤 12.2.3.4.1

将 $(2)!$ 展开为 $2 \cdot 1$ 。

$\frac{132}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{132}{2}$

解题步骤 12.2.3.5

用 $132$ 除以 $2$ 。

$66$

解题步骤 12.3

把已知值填入方程。

$66 \cdot {(0.3)}^{10} \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 10}$

解题步骤 12.4

化简结果。

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解题步骤 12.4.1

对 $0.3$ 进行 $10$ 次方运算。

$66 \cdot 0.0000059 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 10}$

解题步骤 12.4.2

将 $66$ 乘以 $0.0000059$ 。

$0.00038972 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 10}$

解题步骤 12.4.3

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$0.00038972 \cdot {0.7}^{12 - 10}$

解题步骤 12.4.4

从 $12$ 中减去 $10$ 。

$0.00038972 \cdot {0.7}^{2}$

解题步骤 12.4.5

对 $0.7$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.00038972 \cdot 0.49$

解题步骤 12.4.6

将 $0.00038972$ 乘以 $0.49$ 。

$0.00019096$

解题步骤 13

求 $P (11)$ 的概率。

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解题步骤 13.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{12}C_{11} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 13.2

求 ${}_{12}C_{11}$ 的值。

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解题步骤 13.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{12}C_{11} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 13.2.2

填入已知值。

$\frac{(12)!}{(11)! (12 - 11)!}$

解题步骤 13.2.3

化简。

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解题步骤 13.2.3.1

从 $12$ 中减去 $11$ 。

$\frac{(12)!}{(11)! (1)!}$

解题步骤 13.2.3.2

将 $(12)!$ 重写为 $12 \cdot 11!$ 。

$\frac{12 \cdot 11!}{(11)! (1)!}$

解题步骤 13.2.3.3

约去 $11!$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 11!}{(11)! (1)!}$

解题步骤 13.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{12}{(1)!}$

解题步骤 13.2.3.4

将 $(1)!$ 展开为 $1$ 。

$\frac{12}{1}$

解题步骤 13.2.3.5

用 $12$ 除以 $1$ 。

$12$

解题步骤 13.3

把已知值填入方程。

$12 \cdot {(0.3)}^{11} \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 11}$

解题步骤 13.4

化简结果。

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解题步骤 13.4.1

对 $0.3$ 进行 $11$ 次方运算。

$12 \cdot 0.00000177 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 11}$

解题步骤 13.4.2

将 $12$ 乘以 $0.00000177$ 。

$0.00002125 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 11}$

解题步骤 13.4.3

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$0.00002125 \cdot {0.7}^{12 - 11}$

解题步骤 13.4.4

从 $12$ 中减去 $11$ 。

$0.00002125 \cdot {0.7}^{1}$

解题步骤 13.4.5

计算指数。

$0.00002125 \cdot 0.7$

解题步骤 13.4.6

将 $0.00002125$ 乘以 $0.7$ 。

$0.00001488$

解题步骤 14

求 $P (12)$ 的概率。

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解题步骤 14.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{12}C_{12} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 14.2

求 ${}_{12}C_{12}$ 的值。

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解题步骤 14.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{12}C_{12} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 14.2.2

填入已知值。

$\frac{(12)!}{(12)! (12 - 12)!}$

解题步骤 14.2.3

化简。

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解题步骤 14.2.3.1

约去 $(12)!$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.3.1.1

约去公因数。

$\frac{(12)!}{(12)! (12 - 12)!}$

解题步骤 14.2.3.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{(12 - 12)!}$

解题步骤 14.2.3.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.3.2.1

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$\frac{1}{(0)!}$

解题步骤 14.2.3.2.2

将 $(0)!$ 展开为 $1$ 。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 14.2.3.3

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

解题步骤 14.3

把已知值填入方程。

$1 \cdot {(0.3)}^{12} \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 12}$

解题步骤 14.4

化简结果。

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解题步骤 14.4.1

将 ${(0.3)}^{12}$ 乘以 $1$ 。

${(0.3)}^{12} \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 12}$

解题步骤 14.4.2

对 $0.3$ 进行 $12$ 次方运算。

$0.00000053 \cdot {(1 - 0.3)}^{12 - 12}$

解题步骤 14.4.3

从 $1$ 中减去 $0.3$ 。

$0.00000053 \cdot {0.7}^{12 - 12}$

解题步骤 14.4.4

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$0.00000053 \cdot {0.7}^{0}$

解题步骤 14.4.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0.00000053 \cdot 1$

解题步骤 14.4.6

将 $0.00000053$ 乘以 $1$ 。

$0.00000053$

解题步骤 15

概率 $P (x > 0)$ 为在 $0$ 和 $n$ 之间所有 $x$ 可能值的概率之和。 $P (x > 0) = P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) + P (x = 4) + P (x = 5) + P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8) + P (x = 9) + P (x = 10) + P (x = 11) + P (x = 12) = 0.07118376 + 0.16779029 + 0.23970042 + 0.23113969 + 0.15849579 + 0.07924789 + 0.02911147 + 0.00779771 + 0.00148527 + 0.00019096 + 0.00001488 + 0.00000053 = 0.98615871$ 。

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解题步骤 15.1

将 $0.07118376$ 和 $0.16779029$ 相加。

$p (x > 0) = 0.23897406 + 0.23970042 + 0.23113969 + 0.15849579 + 0.07924789 + 0.02911147 + 0.00779771 + 0.00148527 + 0.00019096 + 0.00001488 + 0.00000053$

解题步骤 15.2

将 $0.23897406$ 和 $0.23970042$ 相加。

$p (x > 0) = 0.47867448 + 0.23113969 + 0.15849579 + 0.07924789 + 0.02911147 + 0.00779771 + 0.00148527 + 0.00019096 + 0.00001488 + 0.00000053$

解题步骤 15.3

将 $0.47867448$ 和 $0.23113969$ 相加。

$p (x > 0) = 0.70981418 + 0.15849579 + 0.07924789 + 0.02911147 + 0.00779771 + 0.00148527 + 0.00019096 + 0.00001488 + 0.00000053$

解题步骤 15.4

将 $0.70981418$ 和 $0.15849579$ 相加。

$p (x > 0) = 0.86830997 + 0.07924789 + 0.02911147 + 0.00779771 + 0.00148527 + 0.00019096 + 0.00001488 + 0.00000053$

解题步骤 15.5

将 $0.86830997$ 和 $0.07924789$ 相加。

$p (x > 0) = 0.94755786 + 0.02911147 + 0.00779771 + 0.00148527 + 0.00019096 + 0.00001488 + 0.00000053$

解题步骤 15.6

将 $0.94755786$ 和 $0.02911147$ 相加。

$p (x > 0) = 0.97666934 + 0.00779771 + 0.00148527 + 0.00019096 + 0.00001488 + 0.00000053$

解题步骤 15.7

将 $0.97666934$ 和 $0.00779771$ 相加。

$p (x > 0) = 0.98446705 + 0.00148527 + 0.00019096 + 0.00001488 + 0.00000053$

解题步骤 15.8

将 $0.98446705$ 和 $0.00148527$ 相加。

$p (x > 0) = 0.98595233 + 0.00019096 + 0.00001488 + 0.00000053$

解题步骤 15.9

将 $0.98595233$ 和 $0.00019096$ 相加。

$p (x > 0) = 0.9861433 + 0.00001488 + 0.00000053$

解题步骤 15.10

将 $0.9861433$ 和 $0.00001488$ 相加。

$p (x > 0) = 0.98615818 + 0.00000053$

解题步骤 15.11

将 $0.98615818$ 和 $0.00000053$ 相加。

$p (x > 0) = 0.98615871$

有限数学 示例

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