有限数学示例

f (x) = x^{2} + x

$f (x) = x^{2} + x$ ,

[- 1, 2]

$[- 1, 2]$

解题步骤 1

中值定理表明，如果

f

$f$ 是区间

[a, b]

$[a, b]$ 上的一个实数连续函数且

u

$u$ 是介于

f (a)

$f (a)$ 和

f (b)

$f (b)$ 之间的一个数，那么将存在包含在区间

[a, b]

$[a, b]$ 中的

c

$c$ ，如

f (c) = u

$f (c) = u$ 。

u = f (c) = 0

$u = f (c) = 0$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

计算

$f (a) = f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$ 。

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解题步骤 3.1

去掉圆括号。

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$

解题步骤 3.2

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 - 1$

解题步骤 3.3

从

$1$ 中减去

$1$ 。

$f (- 1) = 0$

$f (- 1) = 0$

解题步骤 4

计算

$f (b) = f (2) = {(2)}^{2} + 2$ 。

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解题步骤 4.1

去掉圆括号。

$f (2) = {(2)}^{2} + 2$

解题步骤 4.2

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (2) = 4 + 2$

解题步骤 4.3

将

$4$ 和

$2$ 相加。

$f (2) = 6$

$f (2) = 6$

解题步骤 5

因为

$0$ 在区间

$[0, 6]$ 上，所以可通过将

$y$ 设为

$y = x^{2} + x$ 中的

$0$ 来求解在根上的方程

$x$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为

$x^{2} + x = 0$ 。

$x^{2} + x = 0$

解题步骤 5.2

从

$x^{2} + x$ 中分解出因数

$x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从

$x^{2}$ 中分解出因数

$x$ 。

$x \cdot x + x = 0$

解题步骤 5.2.2

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$x \cdot x + x = 0$

解题步骤 5.2.3

从

$x^{1}$ 中分解出因数

$x$ 。

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

解题步骤 5.2.4

从

$x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数

$x$ 。

$x (x + 1) = 0$

$x (x + 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 5.4

将

$x$ 设为等于

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将

$x + 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将

$x + 1$ 设为等于

$0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

从等式两边同时减去

$1$ 。

$x = - 1$

$x = - 1$

解题步骤 5.6

最终解为使

$x (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1$

$x = 0, - 1$

解题步骤 6

中值定理表明，因为

$f$ 在

$[- 1, 2]$ 上是连续函数，所以在区间

$[0, 6]$ 上有一个根

$f (c) = 0$ 。

区间

$[- 1, 2]$ 上的根位于

$x = 0, x = - 1$ 。

解题步骤 7

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$