有限数学示例

${(2 x - 5 y)}^{3}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(2 x - 5 y)}^{3}$ , $n = 3$ ，所以展开系数将对应直线 $4$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 3 - 3 - 1$ 。

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

解题步骤 3

将 $a$ $2 x$ 和 $b$ $- 5 y$ 的实际值代入表达式。

$1 {(2 x)}^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(2 x)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

${(2 x)}^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.2

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$2^{3} x^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 x^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.4

对 $- 5 y$ 运用乘积法则。

$8 x^{3} ({(- 5)}^{0} y^{0}) + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.5

使用乘法的交换性质重写。

$8 \cdot {(- 5)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$8 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.7

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.9

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.10

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.12

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.13

化简。

$8 x^{3} + 12 x^{2} (- 5 y) + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.14

使用乘法的交换性质重写。

$8 x^{3} + 12 \cdot - 5 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.15

将 $12$ 乘以 $- 5$ 。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.16

化简。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 3 (2 x) {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.17

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 x {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.18

对 $- 5 y$ 运用乘积法则。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 x ({(- 5)}^{2} y^{2}) + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.19

使用乘法的交换性质重写。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 \cdot {(- 5)}^{2} x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.20

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 \cdot 25 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.21

将 $6$ 乘以 $25$ 。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.22

将 ${(2 x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.23

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 2^{0} x^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.24

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 1 x^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.25

将 $x^{0}$ 乘以 $1$ 。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + x^{0} {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.26

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 1 {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.27

将 ${(- 5 y)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + {(- 5 y)}^{3}$

解题步骤 4.28

对 $- 5 y$ 运用乘积法则。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + {(- 5)}^{3} y^{3}$

解题步骤 4.29

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} - 125 y^{3}$

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