有限数学示例

${(1 + j)}^{3}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(1)}^{3 - k} \cdot {(j)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{3 - 0} \cdot {(j)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{3 - 1} \cdot {(j)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{3 - 2} \cdot {(j)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{3 - 3} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(j)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

通过指数相加将 $1$ 乘以 ${(1)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 乘以 ${(1)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

$1^{1} \cdot {(1)}^{3} \cdot {(j)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1^{1 + 3} \cdot {(j)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$1^{4} \cdot {(j)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.2

化简 $1^{4} \cdot {(j)}^{0}$ 。

$1^{4} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.3

一的任意次幂都为一。

$1 + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.4

一的任意次幂都为一。

$1 + 3 \cdot 1 \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$1 + 3 \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.6

化简。

$1 + 3 \cdot j + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.7

计算指数。

$1 + 3 j + 3 \cdot 1 \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$1 + 3 j + 3 \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.9

通过指数相加将 $1$ 乘以 ${(1)}^{0}$ 。

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解题步骤 4.9.1

将 $1$ 乘以 ${(1)}^{0}$ 。

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解题步骤 4.9.1.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + 3 j + 3 j^{2} + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + 3 j + 3 j^{2} + 1^{1 + 0} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.9.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 + 3 j + 3 j^{2} + 1^{1} \cdot {(j)}^{3}$

解题步骤 4.10

化简 $1^{1} \cdot {(j)}^{3}$ 。

$1 + 3 j + 3 j^{2} + j^{3}$

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