有限数学示例

${(1 + i)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(1)}^{4 - k} \cdot {(i)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{4 - 0} \cdot {(i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{4 - 1} \cdot {(i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{4 - 2} \cdot {(i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{4 - 3} \cdot {(i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(1)}^{4 - 4} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4

化简多项式结果。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

通过指数相加将 $1$ 乘以 ${(1)}^{4}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

将 $1$ 乘以 ${(1)}^{4}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

$1^{1} \cdot {(1)}^{4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1^{1 + 4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.1.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$1^{5} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.2

化简 $1^{5} \cdot {(i)}^{0}$ 。

$1^{5} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.3

一的任意次幂都为一。

$1 + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.4

一的任意次幂都为一。

$1 + 4 \cdot 1 \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.6

化简。

$1 + 4 \cdot i + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.7

一的任意次幂都为一。

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.8

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 i + 6 \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.9

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.10

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.11

计算指数。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.12

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.13

因式分解出 $i^{2}$ 。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot (i^{2} \cdot i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.14

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot (- 1 \cdot i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.15

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot (- i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.16

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.17

通过指数相加将 $1$ 乘以 ${(1)}^{0}$ 。

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解题步骤 4.1.17.1

将 $1$ 乘以 ${(1)}^{0}$ 。

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解题步骤 4.1.17.1.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.17.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1^{1 + 0} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.17.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1^{1} \cdot {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.18

化简 $1^{1} \cdot {(i)}^{4}$ 。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i)}^{4}$

解题步骤 4.1.19

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 4.1.19.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

解题步骤 4.1.19.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 4.1.19.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

解题步骤 4.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

解题步骤 4.2.2

将 $- 5$ 和 $1$ 相加。

$- 4 + 4 i - 4 i$

解题步骤 4.2.3

从 $4 i$ 中减去 $4 i$ 。

$- 4 + 0$

解题步骤 4.2.4

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$- 4$

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