有限数学示例

$x - 8 y = - 21$ , $- 4 x + 2 y = - 18$

解题步骤 1

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$

解题步骤 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ .

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解题步骤 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 2 - (- 4 \cdot - 8)$

解题步骤 2.3

化简行列式。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - (- 4 \cdot - 8)$

解题步骤 2.3.1.2

乘以 $- (- 4 \cdot - 8)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$2 - 1 \cdot 32$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$2 - 32$

解题步骤 2.3.2

从 $2$ 中减去 $32$ 。

$- 30$

$D = - 30$

解题步骤 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

解题步骤 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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解题步骤 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 21 & - 8 \\ - 18 & 2 \end{array} |$

解题步骤 4.2

Find the determinant.

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解题步骤 4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 21 \cdot 2 - (- 18 \cdot - 8)$

解题步骤 4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $- 21$ 乘以 $2$ 。

$- 42 - (- 18 \cdot - 8)$

解题步骤 4.2.2.1.2

乘以 $- (- 18 \cdot - 8)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

将 $- 18$ 乘以 $- 8$ 。

$- 42 - 1 \cdot 144$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $144$ 。

$- 42 - 144$

解题步骤 4.2.2.2

从 $- 42$ 中减去 $144$ 。

$- 186$

$D_{x} = - 186$

解题步骤 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 4.4

Substitute $- 30$ for $D$ and $- 186$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 186}{- 30}$

解题步骤 4.5

约去 $- 186$ 和 $- 30$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

从 $- 186$ 中分解出因数 $- 6$ 。

$x = \frac{- 6 (31)}{- 30}$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.2.1

从 $- 30$ 中分解出因数 $- 6$ 。

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

解题步骤 4.5.2.2

约去公因数。

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

解题步骤 4.5.2.3

重写表达式。

$x = \frac{31}{5}$

解题步骤 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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解题步骤 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 21 \\ - 4 & - 18 \end{array} |$

解题步骤 5.2

Find the determinant.

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解题步骤 5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot - 18 - (- 4 \cdot - 21)$

解题步骤 5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将 $- 18$ 乘以 $1$ 。

$- 18 - (- 4 \cdot - 21)$

解题步骤 5.2.2.1.2

乘以 $- (- 4 \cdot - 21)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 21$ 。

$- 18 - 1 \cdot 84$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $84$ 。

$- 18 - 84$

解题步骤 5.2.2.2

从 $- 18$ 中减去 $84$ 。

$- 102$

$D_{y} = - 102$

解题步骤 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 5.4

Substitute $- 30$ for $D$ and $- 102$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 102}{- 30}$

解题步骤 5.5

约去 $- 102$ 和 $- 30$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从 $- 102$ 中分解出因数 $- 6$ 。

$y = \frac{- 6 (17)}{- 30}$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.2.1

从 $- 30$ 中分解出因数 $- 6$ 。

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

解题步骤 5.5.2.2

约去公因数。

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

解题步骤 5.5.2.3

重写表达式。

$y = \frac{17}{5}$

解题步骤 6

列出方程组的解。

$x = \frac{31}{5}$

$y = \frac{17}{5}$

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