有限数学示例

$x - 3 y + 4 z = 25$ , $y - z + w = - 12$ , $- 2 x + 3 y - 3 z + 3 w = - 18$ , $3 y - 4 z + w = - 29$

解题步骤 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

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解题步骤 1.1

移动 $- z$ 。

$x - 3 y + 4 z = 25$

$y + w - z = - 12$

$- 2 x + 3 y - 3 z + 3 w = - 18$

$3 y - 4 z + w = - 29$

解题步骤 1.2

将 $y$ 和 $w$ 重新排序。

$x - 3 y + 4 z = 25$

$w + y - z = - 12$

$- 2 x + 3 y - 3 z + 3 w = - 18$

$3 y - 4 z + w = - 29$

解题步骤 1.3

移动 $- 3 z$ 。

$x - 3 y + 4 z = 25$

$w + y - z = - 12$

$- 2 x + 3 y + 3 w - 3 z = - 18$

$3 y - 4 z + w = - 29$

解题步骤 1.4

移动 $3 y$ 。

$x - 3 y + 4 z = 25$

$w + y - z = - 12$

$- 2 x + 3 w + 3 y - 3 z = - 18$

$3 y - 4 z + w = - 29$

解题步骤 1.5

将 $- 2 x$ 和 $3 w$ 重新排序。

$x - 3 y + 4 z = 25$

$w + y - z = - 12$

$3 w - 2 x + 3 y - 3 z = - 18$

$3 y - 4 z + w = - 29$

解题步骤 1.6

移动 $- 4 z$ 。

$x - 3 y + 4 z = 25$

$w + y - z = - 12$

$3 w - 2 x + 3 y - 3 z = - 18$

$3 y + w - 4 z = - 29$

解题步骤 1.7

将 $3 y$ 和 $w$ 重新排序。

$x - 3 y + 4 z = 25$

$w + y - z = - 12$

$3 w - 2 x + 3 y - 3 z = - 18$

$w + 3 y - 4 z = - 29$

$x - 3 y + 4 z = 25$

$w + y - z = - 12$

$3 w - 2 x + 3 y - 3 z = - 18$

$w + 3 y - 4 z = - 29$

解题步骤 2

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 3 & - 2 & 3 & - 3 \\ 1 & 0 & 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 25 \\ - 12 \\ - 18 \\ - 29 \end{array}]$

解题步骤 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 3 & - 2 & 3 & - 3 \\ 1 & 0 & 3 & - 4 \end{array}]$ .

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解题步骤 3.1

Write $[\begin{array}{c} 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 3 & - 2 & 3 & - 3 \\ 1 & 0 & 3 & - 4 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 3 & - 2 & 3 & - 3 \\ 1 & 0 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 3.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 3.2.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.2.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.2.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.2.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.2.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.2.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.2.9

The minor for $a_{42}$ is the determinant with row $4$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 3.2.10

Multiply element $a_{42}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 3.2.11

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 3.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} |$ 。

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 3.4

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \end{array} |$ 。

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 3.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 3.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 3.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 3.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 3.5.1.9

Add the terms together.

$- 1 (1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 3 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.2

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (1 (3 \cdot - 4 - 3 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 3.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$- 1 (1 (- 12 - 3 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$- 1 (1 (- 12 + 9) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.2.2.2

将 $- 12$ 和 $9$ 相加。

$- 1 (1 \cdot - 3 - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.5.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (1 \cdot - 3 - 1 (3 \cdot - 4 - 1 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 3.5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$- 1 (1 \cdot - 3 - 1 (- 12 - 1 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- 1 (1 \cdot - 3 - 1 (- 12 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.3.2.2

将 $- 12$ 和 $3$ 相加。

$- 1 (1 \cdot - 3 - 1 \cdot - 9 - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (1 \cdot - 3 - 1 \cdot - 9 - 1 (3 \cdot 3 - 1 \cdot 3)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 3.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- 1 (1 \cdot - 3 - 1 \cdot - 9 - 1 (9 - 1 \cdot 3)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 1 (1 \cdot - 3 - 1 \cdot - 9 - 1 (9 - 3)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.4.2.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$- 1 (1 \cdot - 3 - 1 \cdot - 9 - 1 \cdot 6) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.5

化简行列式。

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解题步骤 3.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.5.1.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 1 (- 3 - 1 \cdot - 9 - 1 \cdot 6) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$- 1 (- 3 + 9 - 1 \cdot 6) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 1 (- 3 + 9 - 6) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.5.2

将 $- 3$ 和 $9$ 相加。

$- 1 (6 - 6) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.5.5.3

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 3.6

计算 $| \begin{array}{c} 0 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.6.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 3.6.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 3.6.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 3.6.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.6.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.6.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.6.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 3.6.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 3.6.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 3.6.1.9

Add the terms together.

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 3.6.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |$ 。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 3.6.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.6.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (0 + 3 (1 \cdot - 4 - 1 \cdot - 1) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 3.6.3.2

化简行列式。

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解题步骤 3.6.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.3.2.1.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (0 + 3 (- 4 - 1 \cdot - 1) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 3.6.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (0 + 3 (- 4 + 1) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 3.6.3.2.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (0 + 3 \cdot - 3 + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 3.6.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.6.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (0 + 3 \cdot - 3 + 4 (1 \cdot 3 - 1 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 3.6.4.2

化简行列式。

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解题步骤 3.6.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (0 + 3 \cdot - 3 + 4 (3 - 1 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 3.6.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (0 + 3 \cdot - 3 + 4 (3 - 1)) + 0$

解题步骤 3.6.4.2.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (0 + 3 \cdot - 3 + 4 \cdot 2) + 0$

解题步骤 3.6.5

化简行列式。

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解题步骤 3.6.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.5.1.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (0 - 9 + 4 \cdot 2) + 0$

解题步骤 3.6.5.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (0 - 9 + 8) + 0$

解题步骤 3.6.5.2

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 (- 9 + 8) + 0$

解题步骤 3.6.5.3

将 $- 9$ 和 $8$ 相加。

$- 1 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot - 1 + 0$

解题步骤 3.7

化简行列式。

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解题步骤 3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 2 \cdot - 1 + 0$

解题步骤 3.7.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 0 - 2 + 0$

解题步骤 3.7.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 2 + 0$

解题步骤 3.7.3

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2 + 0$

解题步骤 3.7.4

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$- 2$

$D = - 2$

解题步骤 4

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

解题步骤 5

Find the value of $w$ by Cramer's Rule, which states that $w = \frac{D_{w}}{D}$ .

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解题步骤 5.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $w$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 25 \\ - 12 \\ - 18 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 25 & 1 & - 3 & 4 \\ - 12 & 0 & 1 & - 1 \\ - 18 & - 2 & 3 & - 3 \\ - 29 & 0 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2

Find the determinant.

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解题步骤 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.2.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.9

The minor for $a_{42}$ is the determinant with row $4$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.10

Multiply element $a_{42}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.11

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$ 。

$- 1 | \begin{array}{c} - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \end{array} |$ 。

$- 1 | \begin{array}{c} - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.2.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.2.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.2.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 5.2.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 5.2.4.1.9

Add the terms together.

$- 1 (- 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 3 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.2

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (- 12 (3 \cdot - 4 - 3 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$- 1 (- 12 (- 12 - 3 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.2.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$- 1 (- 12 (- 12 + 9) - 1 | \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.2.2.2

将 $- 12$ 和 $9$ 相加。

$- 1 (- 12 \cdot - 3 - 1 | \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.3

计算 $| \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.4.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (- 12 \cdot - 3 - 1 (- 18 \cdot - 4 - (- 29 \cdot - 3)) - 1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.3.2.1.1

将 $- 18$ 乘以 $- 4$ 。

$- 1 (- 12 \cdot - 3 - 1 (72 - (- 29 \cdot - 3)) - 1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2.1.2

乘以 $- (- 29 \cdot - 3)$ 。

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解题步骤 5.2.4.3.2.1.2.1

将 $- 29$ 乘以 $- 3$ 。

$- 1 (- 12 \cdot - 3 - 1 (72 - 1 \cdot 87) - 1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $87$ 。

$- 1 (- 12 \cdot - 3 - 1 (72 - 87) - 1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2.2

从 $72$ 中减去 $87$ 。

$- 1 (- 12 \cdot - 3 - 1 \cdot - 15 - 1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.4

计算 $| \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.4.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (- 12 \cdot - 3 - 1 \cdot - 15 - 1 (- 18 \cdot 3 - (- 29 \cdot 3))) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.4.2.1.1

将 $- 18$ 乘以 $3$ 。

$- 1 (- 12 \cdot - 3 - 1 \cdot - 15 - 1 (- 54 - (- 29 \cdot 3))) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.4.2.1.2

乘以 $- (- 29 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 5.2.4.4.2.1.2.1

将 $- 29$ 乘以 $3$ 。

$- 1 (- 12 \cdot - 3 - 1 \cdot - 15 - 1 (- 54 - - 87)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 87$ 。

$- 1 (- 12 \cdot - 3 - 1 \cdot - 15 - 1 (- 54 + 87)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.4.2.2

将 $- 54$ 和 $87$ 相加。

$- 1 (- 12 \cdot - 3 - 1 \cdot - 15 - 1 \cdot 33) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.5

化简行列式。

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解题步骤 5.2.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.5.1.1

将 $- 12$ 乘以 $- 3$ 。

$- 1 (36 - 1 \cdot - 15 - 1 \cdot 33) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 15$ 。

$- 1 (36 + 15 - 1 \cdot 33) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $33$ 。

$- 1 (36 + 15 - 33) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.5.2

将 $36$ 和 $15$ 相加。

$- 1 (51 - 33) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.4.5.3

从 $51$ 中减去 $33$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 | \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 5.2.5

计算 $| \begin{array}{c} 25 & - 3 & 4 \\ - 12 & 1 & - 1 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.2.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.2.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.2.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$25 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 12 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 5.2.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 5.2.5.1.9

Add the terms together.

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 12 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 5.2.5.2

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 (1 \cdot - 4 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 12 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 5.2.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.5.2.2.1.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 (- 4 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 12 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 5.2.5.2.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 (- 4 + 3) + 3 | \begin{array}{c} - 12 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 5.2.5.2.2.2

将 $- 4$ 和 $3$ 相加。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} - 12 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 5.2.5.3

计算 $| \begin{array}{c} - 12 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.5.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 \cdot - 1 + 3 (- 12 \cdot - 4 - (- 29 \cdot - 1)) + 4 | \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 5.2.5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.5.3.2.1.1

将 $- 12$ 乘以 $- 4$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 \cdot - 1 + 3 (48 - (- 29 \cdot - 1)) + 4 | \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 5.2.5.3.2.1.2

乘以 $- (- 29 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 5.2.5.3.2.1.2.1

将 $- 29$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 \cdot - 1 + 3 (48 - 1 \cdot 29) + 4 | \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 5.2.5.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $29$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 \cdot - 1 + 3 (48 - 29) + 4 | \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 5.2.5.3.2.2

从 $48$ 中减去 $29$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 \cdot - 1 + 3 \cdot 19 + 4 | \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 5.2.5.4

计算 $| \begin{array}{c} - 12 & 1 \\ - 29 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 \cdot - 1 + 3 \cdot 19 + 4 (- 12 \cdot 3 - (- 29 \cdot 1))) + 0$

解题步骤 5.2.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.5.4.2.1.1

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 \cdot - 1 + 3 \cdot 19 + 4 (- 36 - (- 29 \cdot 1))) + 0$

解题步骤 5.2.5.4.2.1.2

乘以 $- (- 29 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 5.2.5.4.2.1.2.1

将 $- 29$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 \cdot - 1 + 3 \cdot 19 + 4 (- 36 - - 29)) + 0$

解题步骤 5.2.5.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 29$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 \cdot - 1 + 3 \cdot 19 + 4 (- 36 + 29)) + 0$

解题步骤 5.2.5.4.2.2

将 $- 36$ 和 $29$ 相加。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (25 \cdot - 1 + 3 \cdot 19 + 4 \cdot - 7) + 0$

解题步骤 5.2.5.5

化简行列式。

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解题步骤 5.2.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.5.5.1.1

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (- 25 + 3 \cdot 19 + 4 \cdot - 7) + 0$

解题步骤 5.2.5.5.1.2

将 $3$ 乘以 $19$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (- 25 + 57 + 4 \cdot - 7) + 0$

解题步骤 5.2.5.5.1.3

将 $4$ 乘以 $- 7$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (- 25 + 57 - 28) + 0$

解题步骤 5.2.5.5.2

将 $- 25$ 和 $57$ 相加。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 (32 - 28) + 0$

解题步骤 5.2.5.5.3

从 $32$ 中减去 $28$ 。

$- 1 \cdot 18 + 0 + 2 \cdot 4 + 0$

解题步骤 5.2.6

化简行列式。

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解题步骤 5.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $18$ 。

$- 18 + 0 + 2 \cdot 4 + 0$

解题步骤 5.2.6.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- 18 + 0 + 8 + 0$

解题步骤 5.2.6.2

将 $- 18$ 和 $0$ 相加。

$- 18 + 8 + 0$

解题步骤 5.2.6.3

将 $- 18$ 和 $8$ 相加。

$- 10 + 0$

解题步骤 5.2.6.4

将 $- 10$ 和 $0$ 相加。

$- 10$

$D_{w} = - 10$

解题步骤 5.3

Use the formula to solve for $w$ .

$w = \frac{D_{w}}{D}$

解题步骤 5.4

Substitute $- 2$ for $D$ and $- 10$ for $D_{w}$ in the formula.

$w = \frac{- 10}{- 2}$

解题步骤 5.5

用 $- 10$ 除以 $- 2$ 。

$w = 5$

解题步骤 6

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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解题步骤 6.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 25 \\ - 12 \\ - 18 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 0 & 25 & - 3 & 4 \\ 1 & - 12 & 1 & - 1 \\ 3 & - 18 & 3 & - 3 \\ 1 & - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2

Find the determinant.

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解题步骤 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 25 | \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.11

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} | - 25 | \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 12 & 1 & - 1 \\ - 18 & 3 & - 3 \\ - 29 & 3 & - 4 \end{array} |$ 。

$0 - 25 | \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 3 & - 3 \\ 1 & 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 6.2.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 6.2.3.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.1.9

Add the terms together.

$0 - 25 (1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 3 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 3 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.3.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 - 25 (1 (3 \cdot - 4 - 3 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$0 - 25 (1 (- 12 - 3 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$0 - 25 (1 (- 12 + 9) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2.2.2

将 $- 12$ 和 $9$ 相加。

$0 - 25 (1 \cdot - 3 - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.3.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 - 25 (1 \cdot - 3 - 1 (3 \cdot - 4 - 1 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.3.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$0 - 25 (1 \cdot - 3 - 1 (- 12 - 1 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$0 - 25 (1 \cdot - 3 - 1 (- 12 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.3.2.2

将 $- 12$ 和 $3$ 相加。

$0 - 25 (1 \cdot - 3 - 1 \cdot - 9 - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.3.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 - 25 (1 \cdot - 3 - 1 \cdot - 9 - 1 (3 \cdot 3 - 1 \cdot 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.4.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$0 - 25 (1 \cdot - 3 - 1 \cdot - 9 - 1 (9 - 1 \cdot 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$0 - 25 (1 \cdot - 3 - 1 \cdot - 9 - 1 (9 - 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.4.2.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$0 - 25 (1 \cdot - 3 - 1 \cdot - 9 - 1 \cdot 6) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.5

化简行列式。

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解题步骤 6.2.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.5.1.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$0 - 25 (- 3 - 1 \cdot - 9 - 1 \cdot 6) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$0 - 25 (- 3 + 9 - 1 \cdot 6) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$0 - 25 (- 3 + 9 - 6) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.5.2

将 $- 3$ 和 $9$ 相加。

$0 - 25 (6 - 6) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.5.3

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 6.2.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 6.2.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.1.9

Add the terms together.

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 | \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} | + 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.2

计算 $| \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 (- 18 \cdot - 4 - (- 29 \cdot - 3)) + 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.4.2.2.1.1

将 $- 18$ 乘以 $- 4$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 (72 - (- 29 \cdot - 3)) + 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.2.2.1.2

乘以 $- (- 29 \cdot - 3)$ 。

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解题步骤 6.2.4.2.2.1.2.1

将 $- 29$ 乘以 $- 3$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 (72 - 1 \cdot 87) + 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $87$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 (72 - 87) + 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.2.2.2

从 $72$ 中减去 $87$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 \cdot - 15 + 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.4.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 \cdot - 15 + 12 (3 \cdot - 4 - 1 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.3.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.4.3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 \cdot - 15 + 12 (- 12 - 1 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 \cdot - 15 + 12 (- 12 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.3.2.2

将 $- 12$ 和 $3$ 相加。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 \cdot - 15 + 12 \cdot - 9 - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.4.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 \cdot - 15 + 12 \cdot - 9 - 1 (3 \cdot - 29 - 1 \cdot - 18)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.4.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.4.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 29$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 \cdot - 15 + 12 \cdot - 9 - 1 (- 87 - 1 \cdot - 18)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 18$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 \cdot - 15 + 12 \cdot - 9 - 1 (- 87 + 18)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.4.2.2

将 $- 87$ 和 $18$ 相加。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (1 \cdot - 15 + 12 \cdot - 9 - 1 \cdot - 69) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.5

化简行列式。

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解题步骤 6.2.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.4.5.1.1

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (- 15 + 12 \cdot - 9 - 1 \cdot - 69) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.5.1.2

将 $12$ 乘以 $- 9$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (- 15 - 108 - 1 \cdot - 69) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 69$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (- 15 - 108 + 69) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.5.2

从 $- 15$ 中减去 $108$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 (- 123 + 69) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4.5.3

将 $- 123$ 和 $69$ 相加。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.5

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 12 & 1 \\ 3 & - 18 & 3 \\ 1 & - 29 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 6.2.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 6.2.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 6.2.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 6.2.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 6.2.5.1.9

Add the terms together.

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 | \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} | + 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |)$

解题步骤 6.2.5.2

计算 $| \begin{array}{c} - 18 & 3 \\ - 29 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 (- 18 \cdot 3 - (- 29 \cdot 3)) + 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |)$

解题步骤 6.2.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.5.2.2.1.1

将 $- 18$ 乘以 $3$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 (- 54 - (- 29 \cdot 3)) + 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |)$

解题步骤 6.2.5.2.2.1.2

乘以 $- (- 29 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 6.2.5.2.2.1.2.1

将 $- 29$ 乘以 $3$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 (- 54 - - 87) + 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |)$

解题步骤 6.2.5.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 87$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 (- 54 + 87) + 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |)$

解题步骤 6.2.5.2.2.2

将 $- 54$ 和 $87$ 相加。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 \cdot 33 + 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |)$

解题步骤 6.2.5.3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.5.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 \cdot 33 + 12 (3 \cdot 3 - 1 \cdot 3) + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |)$

解题步骤 6.2.5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.5.3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 \cdot 33 + 12 (9 - 1 \cdot 3) + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |)$

解题步骤 6.2.5.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 \cdot 33 + 12 (9 - 3) + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |)$

解题步骤 6.2.5.3.2.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 \cdot 33 + 12 \cdot 6 + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |)$

解题步骤 6.2.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 \cdot 33 + 12 \cdot 6 + 1 (3 \cdot - 29 - 1 \cdot - 18))$

解题步骤 6.2.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.5.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 29$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 \cdot 33 + 12 \cdot 6 + 1 (- 87 - 1 \cdot - 18))$

解题步骤 6.2.5.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 18$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 \cdot 33 + 12 \cdot 6 + 1 (- 87 + 18))$

解题步骤 6.2.5.4.2.2

将 $- 87$ 和 $18$ 相加。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (1 \cdot 33 + 12 \cdot 6 + 1 \cdot - 69)$

解题步骤 6.2.5.5

化简行列式。

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解题步骤 6.2.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.5.5.1.1

将 $33$ 乘以 $1$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (33 + 12 \cdot 6 + 1 \cdot - 69)$

解题步骤 6.2.5.5.1.2

将 $12$ 乘以 $6$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (33 + 72 + 1 \cdot - 69)$

解题步骤 6.2.5.5.1.3

将 $- 69$ 乘以 $1$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (33 + 72 - 69)$

解题步骤 6.2.5.5.2

将 $33$ 和 $72$ 相加。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 (105 - 69)$

解题步骤 6.2.5.5.3

从 $105$ 中减去 $69$ 。

$0 - 25 \cdot 0 - 3 \cdot - 54 - 4 \cdot 36$

解题步骤 6.2.6

化简行列式。

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解题步骤 6.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.6.1.1

将 $- 25$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - 3 \cdot - 54 - 4 \cdot 36$

解题步骤 6.2.6.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 54$ 。

$0 + 0 + 162 - 4 \cdot 36$

解题步骤 6.2.6.1.3

将 $- 4$ 乘以 $36$ 。

$0 + 0 + 162 - 144$

解题步骤 6.2.6.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 162 - 144$

解题步骤 6.2.6.3

将 $0$ 和 $162$ 相加。

$162 - 144$

解题步骤 6.2.6.4

从 $162$ 中减去 $144$ 。

$18$

$D_{x} = 18$

解题步骤 6.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 6.4

Substitute $- 2$ for $D$ and $18$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{18}{- 2}$

解题步骤 6.5

用 $18$ 除以 $- 2$ 。

$x = - 9$

解题步骤 7

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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解题步骤 7.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 25 \\ - 12 \\ - 18 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & 25 & 4 \\ 1 & 0 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 2 & - 18 & - 3 \\ 1 & 0 & - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2

Find the determinant.

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解题步骤 7.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 7.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 7.2.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.9

The minor for $a_{42}$ is the determinant with row $4$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.10

Multiply element $a_{42}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.11

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 7.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} |$ 。

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 7.2.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \end{array} |$ 。

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 12 & - 1 \\ 3 & - 18 & - 3 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 7.2.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 7.2.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 7.2.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 7.2.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 7.2.4.1.9

Add the terms together.

$- 1 (1 | \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} | + 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.2

计算 $| \begin{array}{c} - 18 & - 3 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (1 (- 18 \cdot - 4 - (- 29 \cdot - 3)) + 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.4.2.2.1.1

将 $- 18$ 乘以 $- 4$ 。

$- 1 (1 (72 - (- 29 \cdot - 3)) + 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.2.2.1.2

乘以 $- (- 29 \cdot - 3)$ 。

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解题步骤 7.2.4.2.2.1.2.1

将 $- 29$ 乘以 $- 3$ 。

$- 1 (1 (72 - 1 \cdot 87) + 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $87$ 。

$- 1 (1 (72 - 87) + 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.2.2.2

从 $72$ 中减去 $87$ 。

$- 1 (1 \cdot - 15 + 12 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.4.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (1 \cdot - 15 + 12 (3 \cdot - 4 - 1 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.3.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.4.3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$- 1 (1 \cdot - 15 + 12 (- 12 - 1 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- 1 (1 \cdot - 15 + 12 (- 12 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.3.2.2

将 $- 12$ 和 $3$ 相加。

$- 1 (1 \cdot - 15 + 12 \cdot - 9 - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.4.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (1 \cdot - 15 + 12 \cdot - 9 - 1 (3 \cdot - 29 - 1 \cdot - 18)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.4.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.4.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 29$ 。

$- 1 (1 \cdot - 15 + 12 \cdot - 9 - 1 (- 87 - 1 \cdot - 18)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 18$ 。

$- 1 (1 \cdot - 15 + 12 \cdot - 9 - 1 (- 87 + 18)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.4.2.2

将 $- 87$ 和 $18$ 相加。

$- 1 (1 \cdot - 15 + 12 \cdot - 9 - 1 \cdot - 69) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.5

化简行列式。

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解题步骤 7.2.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.4.5.1.1

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$- 1 (- 15 + 12 \cdot - 9 - 1 \cdot - 69) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.5.1.2

将 $12$ 乘以 $- 9$ 。

$- 1 (- 15 - 108 - 1 \cdot - 69) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 69$ 。

$- 1 (- 15 - 108 + 69) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.5.2

从 $- 15$ 中减去 $108$ 。

$- 1 (- 123 + 69) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4.5.3

将 $- 123$ 和 $69$ 相加。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.5

计算 $| \begin{array}{c} 0 & 25 & 4 \\ 1 & - 12 & - 1 \\ 1 & - 29 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 7.2.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 7.2.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 7.2.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 12 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 25 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.2.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 7.2.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 7.2.5.1.9

Add the terms together.

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (0 | \begin{array}{c} - 12 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} | - 25 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0$

解题步骤 7.2.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 12 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$ 。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (0 - 25 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0$

解题步骤 7.2.5.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.5.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (0 - 25 (1 \cdot - 4 - 1 \cdot - 1) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0$

解题步骤 7.2.5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.5.3.2.1.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (0 - 25 (- 4 - 1 \cdot - 1) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0$

解题步骤 7.2.5.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (0 - 25 (- 4 + 1) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0$

解题步骤 7.2.5.3.2.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (0 - 25 \cdot - 3 + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} |) + 0$

解题步骤 7.2.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (0 - 25 \cdot - 3 + 4 (1 \cdot - 29 - 1 \cdot - 12)) + 0$

解题步骤 7.2.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.5.4.2.1.1

将 $- 29$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (0 - 25 \cdot - 3 + 4 (- 29 - 1 \cdot - 12)) + 0$

解题步骤 7.2.5.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (0 - 25 \cdot - 3 + 4 (- 29 + 12)) + 0$

解题步骤 7.2.5.4.2.2

将 $- 29$ 和 $12$ 相加。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (0 - 25 \cdot - 3 + 4 \cdot - 17) + 0$

解题步骤 7.2.5.5

化简行列式。

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解题步骤 7.2.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.5.5.1.1

将 $- 25$ 乘以 $- 3$ 。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (0 + 75 + 4 \cdot - 17) + 0$

解题步骤 7.2.5.5.1.2

将 $4$ 乘以 $- 17$ 。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (0 + 75 - 68) + 0$

解题步骤 7.2.5.5.2

将 $0$ 和 $75$ 相加。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 (75 - 68) + 0$

解题步骤 7.2.5.5.3

从 $75$ 中减去 $68$ 。

$- 1 \cdot - 54 + 0 + 2 \cdot 7 + 0$

解题步骤 7.2.6

化简行列式。

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解题步骤 7.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 54$ 。

$54 + 0 + 2 \cdot 7 + 0$

解题步骤 7.2.6.1.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$54 + 0 + 14 + 0$

解题步骤 7.2.6.2

将 $54$ 和 $0$ 相加。

$54 + 14 + 0$

解题步骤 7.2.6.3

将 $54$ 和 $14$ 相加。

$68 + 0$

解题步骤 7.2.6.4

将 $68$ 和 $0$ 相加。

$68$

$D_{y} = 68$

解题步骤 7.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 7.4

Substitute $- 2$ for $D$ and $68$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{68}{- 2}$

解题步骤 7.5

用 $68$ 除以 $- 2$ 。

$y = - 34$

解题步骤 8

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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解题步骤 8.1

Replace column $4$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 25 \\ - 12 \\ - 18 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & - 3 & 25 \\ 1 & 0 & 1 & - 12 \\ 3 & - 2 & 3 & - 18 \\ 1 & 0 & 3 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2

Find the determinant.

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解题步骤 8.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 8.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

解题步骤 8.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 8.2.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & - 12 \\ 3 & 3 & - 18 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & - 12 \\ 3 & 3 & - 18 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 3 & 3 & - 18 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 3 & 3 & - 18 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.1.9

The minor for $a_{42}$ is the determinant with row $4$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 3 & 3 & - 18 \end{array} |$

解题步骤 8.2.1.10

Multiply element $a_{42}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 3 & 3 & - 18 \end{array} |$

解题步骤 8.2.1.11

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & - 12 \\ 3 & 3 & - 18 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 3 & 3 & - 18 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 3 & 3 & - 18 \end{array} |$

解题步骤 8.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 3 & 3 & - 18 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} |$ 。

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & - 12 \\ 3 & 3 & - 18 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 3 & 3 & - 18 \end{array} |$

解题步骤 8.2.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 3 & 3 & - 18 \end{array} |$ 。

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & - 12 \\ 3 & 3 & - 18 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 & - 12 \\ 3 & 3 & - 18 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} |$ 。

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解题步骤 8.2.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 8.2.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 8.2.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 8.2.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 3 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 3 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 8.2.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 8.2.4.1.9

Add the terms together.

$- 1 (1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 3 & - 29 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} | - 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.2

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 3 & - 29 \end{array} |$ 。

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解题步骤 8.2.4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (1 (3 \cdot - 29 - 3 \cdot - 18) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} | - 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 8.2.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.4.2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 29$ 。

$- 1 (1 (- 87 - 3 \cdot - 18) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} | - 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.2.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 18$ 。

$- 1 (1 (- 87 + 54) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} | - 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.2.2.2

将 $- 87$ 和 $54$ 相加。

$- 1 (1 \cdot - 33 - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} | - 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 18 \\ 1 & - 29 \end{array} |$ 。

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解题步骤 8.2.4.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (1 \cdot - 33 - 1 (3 \cdot - 29 - 1 \cdot - 18) - 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.3.2

化简行列式。

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解题步骤 8.2.4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.4.3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 29$ 。

$- 1 (1 \cdot - 33 - 1 (- 87 - 1 \cdot - 18) - 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 18$ 。

$- 1 (1 \cdot - 33 - 1 (- 87 + 18) - 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.3.2.2

将 $- 87$ 和 $18$ 相加。

$- 1 (1 \cdot - 33 - 1 \cdot - 69 - 12 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 8.2.4.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 (1 \cdot - 33 - 1 \cdot - 69 - 12 (3 \cdot 3 - 1 \cdot 3)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.4.2

化简行列式。

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解题步骤 8.2.4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.4.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- 1 (1 \cdot - 33 - 1 \cdot - 69 - 12 (9 - 1 \cdot 3)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 1 (1 \cdot - 33 - 1 \cdot - 69 - 12 (9 - 3)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.4.2.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$- 1 (1 \cdot - 33 - 1 \cdot - 69 - 12 \cdot 6) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.5

化简行列式。

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解题步骤 8.2.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.4.5.1.1

将 $- 33$ 乘以 $1$ 。

$- 1 (- 33 - 1 \cdot - 69 - 12 \cdot 6) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 69$ 。

$- 1 (- 33 + 69 - 12 \cdot 6) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.5.1.3

将 $- 12$ 乘以 $6$ 。

$- 1 (- 33 + 69 - 72) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.5.2

将 $- 33$ 和 $69$ 相加。

$- 1 (36 - 72) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.4.5.3

从 $36$ 中减去 $72$ 。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 | \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} | + 0$

解题步骤 8.2.5

计算 $| \begin{array}{c} 0 & - 3 & 25 \\ 1 & 1 & - 12 \\ 1 & 3 & - 29 \end{array} |$ 。

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解题步骤 8.2.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 8.2.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 8.2.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 8.2.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 3 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 3 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} |$

解题步骤 8.2.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 8.2.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$25 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 8.2.5.1.9

Add the terms together.

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (0 | \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 3 & - 29 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} | + 25 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 8.2.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 3 & - 29 \end{array} |$ 。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} | + 25 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 8.2.5.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 12 \\ 1 & - 29 \end{array} |$ 。

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解题步骤 8.2.5.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (0 + 3 (1 \cdot - 29 - 1 \cdot - 12) + 25 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 8.2.5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 8.2.5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.5.3.2.1.1

将 $- 29$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (0 + 3 (- 29 - 1 \cdot - 12) + 25 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 8.2.5.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (0 + 3 (- 29 + 12) + 25 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 8.2.5.3.2.2

将 $- 29$ 和 $12$ 相加。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (0 + 3 \cdot - 17 + 25 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0$

解题步骤 8.2.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 8.2.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (0 + 3 \cdot - 17 + 25 (1 \cdot 3 - 1 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 8.2.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 8.2.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.5.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (0 + 3 \cdot - 17 + 25 (3 - 1 \cdot 1)) + 0$

解题步骤 8.2.5.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (0 + 3 \cdot - 17 + 25 (3 - 1)) + 0$

解题步骤 8.2.5.4.2.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (0 + 3 \cdot - 17 + 25 \cdot 2) + 0$

解题步骤 8.2.5.5

化简行列式。

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解题步骤 8.2.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.5.5.1.1

将 $3$ 乘以 $- 17$ 。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (0 - 51 + 25 \cdot 2) + 0$

解题步骤 8.2.5.5.1.2

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (0 - 51 + 50) + 0$

解题步骤 8.2.5.5.2

从 $0$ 中减去 $51$ 。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 (- 51 + 50) + 0$

解题步骤 8.2.5.5.3

将 $- 51$ 和 $50$ 相加。

$- 1 \cdot - 36 + 0 + 2 \cdot - 1 + 0$

解题步骤 8.2.6

化简行列式。

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解题步骤 8.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 36$ 。

$36 + 0 + 2 \cdot - 1 + 0$

解题步骤 8.2.6.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$36 + 0 - 2 + 0$

解题步骤 8.2.6.2

将 $36$ 和 $0$ 相加。

$36 - 2 + 0$

解题步骤 8.2.6.3

从 $36$ 中减去 $2$ 。

$34 + 0$

解题步骤 8.2.6.4

将 $34$ 和 $0$ 相加。

$34$

$D_{z} = 34$

解题步骤 8.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

解题步骤 8.4

Substitute $- 2$ for $D$ and $34$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{34}{- 2}$

解题步骤 8.5

用 $34$ 除以 $- 2$ 。

$z = - 17$

解题步骤 9

列出方程组的解。

$w = 5$

$x = - 9$

$y = - 34$

$z = - 17$

有限数学 示例

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