有限数学示例

$x + y - z = 7$ , $4 x - y + z = - 17$ , $x - 3 y + 2 z = - 40$

解题步骤 1

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 4 & - 1 & 1 \\ 1 & - 3 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ - 17 \\ - 40 \end{array}]$

解题步骤 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 4 & - 1 & 1 \\ 1 & - 3 & 2 \end{array}]$ .

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解题步骤 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 4 & - 1 & 1 \\ 1 & - 3 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 4 & - 1 & 1 \\ 1 & - 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 (- 1 \cdot 2 - (- 3 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$1 (- 2 - (- 3 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.2

乘以 $- (- 3 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$1 (- 2 - - 3) - 1 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$1 (- 2 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$1 \cdot 1 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.4

计算 $| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 1 - 1 (4 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$1 \cdot 1 - 1 (8 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot 1 - 1 (8 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.2

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$1 \cdot 1 - 1 \cdot 7 - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.5

计算 $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 1 - 1 \cdot 7 - 1 (4 \cdot - 3 - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 2.5.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.1

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$1 \cdot 1 - 1 \cdot 7 - 1 (- 12 - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \cdot 1 - 1 \cdot 7 - 1 (- 12 + 1)$

解题步骤 2.5.2.2

将 $- 12$ 和 $1$ 相加。

$1 \cdot 1 - 1 \cdot 7 - 1 \cdot - 11$

解题步骤 2.6

化简行列式。

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解题步骤 2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 - 1 \cdot 7 - 1 \cdot - 11$

解题步骤 2.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$1 - 7 - 1 \cdot - 11$

解题步骤 2.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 11$ 。

$1 - 7 + 11$

解题步骤 2.6.2

从 $1$ 中减去 $7$ 。

$- 6 + 11$

解题步骤 2.6.3

将 $- 6$ 和 $11$ 相加。

$5$

$D = 5$

解题步骤 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

解题步骤 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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解题步骤 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 7 \\ - 17 \\ - 40 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 7 & 1 & - 1 \\ - 17 & - 1 & 1 \\ - 40 & - 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 4.2

Find the determinant.

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解题步骤 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$7 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.1.9

Add the terms together.

$7 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.2

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$7 (- 1 \cdot 2 - (- 3 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$7 (- 2 - (- 3 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

乘以 $- (- 3 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$7 (- 2 - - 3) - 1 | \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$7 (- 2 + 3) - 1 | \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$7 \cdot 1 - 1 | \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$7 \cdot 1 - 1 (- 17 \cdot 2 - (- 40 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.2.1.1

将 $- 17$ 乘以 $2$ 。

$7 \cdot 1 - 1 (- 34 - (- 40 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.3.2.1.2

乘以 $- (- 40 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1.2.1

将 $- 40$ 乘以 $1$ 。

$7 \cdot 1 - 1 (- 34 - - 40) - 1 | \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 40$ 。

$7 \cdot 1 - 1 (- 34 + 40) - 1 | \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.3.2.2

将 $- 34$ 和 $40$ 相加。

$7 \cdot 1 - 1 \cdot 6 - 1 | \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 17 & - 1 \\ - 40 & - 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$7 \cdot 1 - 1 \cdot 6 - 1 (- 17 \cdot - 3 - (- 40 \cdot - 1))$

解题步骤 4.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.2.1.1

将 $- 17$ 乘以 $- 3$ 。

$7 \cdot 1 - 1 \cdot 6 - 1 (51 - (- 40 \cdot - 1))$

解题步骤 4.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 40 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.4.2.1.2.1

将 $- 40$ 乘以 $- 1$ 。

$7 \cdot 1 - 1 \cdot 6 - 1 (51 - 1 \cdot 40)$

解题步骤 4.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $40$ 。

$7 \cdot 1 - 1 \cdot 6 - 1 (51 - 40)$

解题步骤 4.2.4.2.2

从 $51$ 中减去 $40$ 。

$7 \cdot 1 - 1 \cdot 6 - 1 \cdot 11$

解题步骤 4.2.5

化简行列式。

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解题步骤 4.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.5.1.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$7 - 1 \cdot 6 - 1 \cdot 11$

解题步骤 4.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$7 - 6 - 1 \cdot 11$

解题步骤 4.2.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$7 - 6 - 11$

解题步骤 4.2.5.2

从 $7$ 中减去 $6$ 。

$1 - 11$

解题步骤 4.2.5.3

从 $1$ 中减去 $11$ 。

$- 10$

$D_{x} = - 10$

解题步骤 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 4.4

Substitute $5$ for $D$ and $- 10$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 10}{5}$

解题步骤 4.5

用 $- 10$ 除以 $5$ 。

$x = - 2$

解题步骤 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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解题步骤 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 7 \\ - 17 \\ - 40 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & - 1 \\ 4 & - 17 & 1 \\ 1 & - 40 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2

Find the determinant.

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解题步骤 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 7 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2

计算 $| \begin{array}{c} - 17 & 1 \\ - 40 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 (- 17 \cdot 2 - (- 40 \cdot 1)) - 7 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

将 $- 17$ 乘以 $2$ 。

$1 (- 34 - (- 40 \cdot 1)) - 7 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

乘以 $- (- 40 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1.2.1

将 $- 40$ 乘以 $1$ 。

$1 (- 34 - - 40) - 7 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 40$ 。

$1 (- 34 + 40) - 7 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2.2

将 $- 34$ 和 $40$ 相加。

$1 \cdot 6 - 7 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 6 - 7 (4 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$1 \cdot 6 - 7 (8 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot 6 - 7 (8 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3.2.2

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$1 \cdot 6 - 7 \cdot 7 - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 5.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 6 - 7 \cdot 7 - 1 (4 \cdot - 40 - 1 \cdot - 17)$

解题步骤 5.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.2.1.1

将 $4$ 乘以 $- 40$ 。

$1 \cdot 6 - 7 \cdot 7 - 1 (- 160 - 1 \cdot - 17)$

解题步骤 5.2.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 17$ 。

$1 \cdot 6 - 7 \cdot 7 - 1 (- 160 + 17)$

解题步骤 5.2.4.2.2

将 $- 160$ 和 $17$ 相加。

$1 \cdot 6 - 7 \cdot 7 - 1 \cdot - 143$

解题步骤 5.2.5

化简行列式。

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解题步骤 5.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.5.1.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 - 7 \cdot 7 - 1 \cdot - 143$

解题步骤 5.2.5.1.2

将 $- 7$ 乘以 $7$ 。

$6 - 49 - 1 \cdot - 143$

解题步骤 5.2.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 143$ 。

$6 - 49 + 143$

解题步骤 5.2.5.2

从 $6$ 中减去 $49$ 。

$- 43 + 143$

解题步骤 5.2.5.3

将 $- 43$ 和 $143$ 相加。

$100$

$D_{y} = 100$

解题步骤 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 5.4

Substitute $5$ for $D$ and $100$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{100}{5}$

解题步骤 5.5

用 $100$ 除以 $5$ 。

$y = 20$

解题步骤 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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解题步骤 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 7 \\ - 17 \\ - 40 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 7 \\ 4 & - 1 & - 17 \\ 1 & - 3 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 6.2

Find the determinant.

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解题步骤 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 17 \\ - 3 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 17 \\ - 3 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$7 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 17 \\ - 3 & - 40 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & - 17 \\ - 3 & - 40 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 (- - 40 - (- 3 \cdot - 17)) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 40$ 。

$1 (40 - (- 3 \cdot - 17)) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

乘以 $- (- 3 \cdot - 17)$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $- 17$ 。

$1 (40 - 1 \cdot 51) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $51$ 。

$1 (40 - 51) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2.2.2

从 $40$ 中减去 $51$ 。

$1 \cdot - 11 - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 4 & - 17 \\ 1 & - 40 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot - 11 - 1 (4 \cdot - 40 - 1 \cdot - 17) + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.2.1.1

将 $4$ 乘以 $- 40$ 。

$1 \cdot - 11 - 1 (- 160 - 1 \cdot - 17) + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 17$ 。

$1 \cdot - 11 - 1 (- 160 + 17) + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3.2.2

将 $- 160$ 和 $17$ 相加。

$1 \cdot - 11 - 1 \cdot - 143 + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot - 11 - 1 \cdot - 143 + 7 (4 \cdot - 3 - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 6.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.4.2.1.1

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$1 \cdot - 11 - 1 \cdot - 143 + 7 (- 12 - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 6.2.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \cdot - 11 - 1 \cdot - 143 + 7 (- 12 + 1)$

解题步骤 6.2.4.2.2

将 $- 12$ 和 $1$ 相加。

$1 \cdot - 11 - 1 \cdot - 143 + 7 \cdot - 11$

解题步骤 6.2.5

化简行列式。

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解题步骤 6.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.5.1.1

将 $- 11$ 乘以 $1$ 。

$- 11 - 1 \cdot - 143 + 7 \cdot - 11$

解题步骤 6.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 143$ 。

$- 11 + 143 + 7 \cdot - 11$

解题步骤 6.2.5.1.3

将 $7$ 乘以 $- 11$ 。

$- 11 + 143 - 77$

解题步骤 6.2.5.2

将 $- 11$ 和 $143$ 相加。

$132 - 77$

解题步骤 6.2.5.3

从 $132$ 中减去 $77$ 。

$55$

$D_{z} = 55$

解题步骤 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

解题步骤 6.4

Substitute $5$ for $D$ and $55$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{55}{5}$

解题步骤 6.5

用 $55$ 除以 $5$ 。

$z = 11$

解题步骤 7

列出方程组的解。

$x = - 2$

$y = 20$

$z = 11$

有限数学 示例

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