有限数学示例

$x + 2 y = 7$ , $2 x - y = 4$

解题步骤 1

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}]$

解题步骤 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ .

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解题步骤 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot - 1 - 2 \cdot 2$

解题步骤 2.3

化简行列式。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - 2 \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 1 - 4$

解题步骤 2.3.2

从 $- 1$ 中减去 $4$ 。

$- 5$

$D = - 5$

解题步骤 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

解题步骤 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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解题步骤 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 7 & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 4.2

Find the determinant.

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解题步骤 4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$7 \cdot - 1 - 4 \cdot 2$

解题步骤 4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$- 7 - 4 \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$- 7 - 8$

解题步骤 4.2.2.2

从 $- 7$ 中减去 $8$ 。

$- 15$

$D_{x} = - 15$

解题步骤 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 4.4

Substitute $- 5$ for $D$ and $- 15$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 15}{- 5}$

解题步骤 4.5

用 $- 15$ 除以 $- 5$ 。

$x = 3$

解题步骤 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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解题步骤 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 2 & 4 \end{array} |$

解题步骤 5.2

Find the determinant.

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解题步骤 5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 4 - 2 \cdot 7$

解题步骤 5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 - 2 \cdot 7$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$4 - 14$

解题步骤 5.2.2.2

从 $4$ 中减去 $14$ 。

$- 10$

$D_{y} = - 10$

解题步骤 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 5.4

Substitute $- 5$ for $D$ and $- 10$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 10}{- 5}$

解题步骤 5.5

用 $- 10$ 除以 $- 5$ 。

$y = 2$

解题步骤 6

列出方程组的解。

$x = 3$

$y = 2$

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