有限数学示例

$[\begin{array}{c} p & \ln (e) \\ 4^{\frac{5}{2}} & \sqrt{5} \end{array}]$

解题步骤 1

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 4^{\frac{5}{2}} & \sqrt{5} \end{array}]$

解题步骤 2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} & \sqrt{5} \end{array}]$

解题步骤 3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 2^{2 (\frac{5}{2})} & \sqrt{5} \end{array}]$

解题步骤 4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 2^{2 (\frac{5}{2})} & \sqrt{5} \end{array}]$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 2^{5} & \sqrt{5} \end{array}]$

解题步骤 5

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 32 & \sqrt{5} \end{array}]$

解题步骤 6

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 7

Find the determinant.

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解题步骤 7.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p \sqrt{5} - 32 \cdot 1$

解题步骤 7.2

将 $- 32$ 乘以 $1$ 。

$p \sqrt{5} - 32$

解题步骤 8

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 9

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{p \sqrt{5} - 32} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{p \sqrt{5} - 32}$ 乘以 $\frac{p \sqrt{5} + 32}{p \sqrt{5} + 32}$ 。

$\frac{1}{p \sqrt{5} - 32} \cdot \frac{p \sqrt{5} + 32}{p \sqrt{5} + 32} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{p \sqrt{5} - 32}$ 乘以 $\frac{p \sqrt{5} + 32}{p \sqrt{5} + 32}$ 。

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{(p \sqrt{5} - 32) (p \sqrt{5} + 32)} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

解题步骤 12

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} {\sqrt{5}}^{2} + p \sqrt{5} \cdot 32 - 32 (p \sqrt{5}) - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 13.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

解题步骤 13.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

解题步骤 13.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

解题步骤 13.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.4.1

约去公因数。

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

解题步骤 13.1.4.2

重写表达式。

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5^{1} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

解题步骤 13.1.5

计算指数。

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5 - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

解题步骤 13.2

将 $5$ 移到 $p^{2}$ 的左侧。

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

解题步骤 14

将 $\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \sqrt{5} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 15.1

组合 $\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ 和 $\sqrt{5}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{(p \sqrt{5} + 32) \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.2

运用分配律。

$[\begin{array}{c} \frac{p \sqrt{5} \sqrt{5} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.3

乘以 $p \sqrt{5} \sqrt{5}$ 。

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解题步骤 15.3.1

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$[\begin{array}{c} \frac{p ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.3.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$[\begin{array}{c} \frac{p ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$[\begin{array}{c} \frac{p {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$[\begin{array}{c} \frac{p {\sqrt{5}}^{2} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.4

化简每一项。

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解题步骤 15.4.1

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 15.4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{p {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{p \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.4.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{p \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.4.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.4.1.4.1

约去公因数。

解题步骤 15.4.1.4.2

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{p \cdot 5^{1} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.4.1.5

计算指数。

$[\begin{array}{c} \frac{p \cdot 5 + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.4.2

将 $5$ 移到 $p$ 的左侧。

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.5

组合 $\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ 和 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{(p \sqrt{5} + 32) \cdot - 1}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.6

将 $- 1$ 移到 $p \sqrt{5} + 32$ 的左侧。

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{- 1 \cdot (p \sqrt{5} + 32)}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.7

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.8

组合 $\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ 和 $- 32$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{(p \sqrt{5} + 32) \cdot - 32}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.9

将 $- 32$ 移到 $p \sqrt{5} + 32$ 的左侧。

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{- 32 \cdot (p \sqrt{5} + 32)}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.10

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ - \frac{32 (p \sqrt{5} + 32)}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

解题步骤 15.11

组合 $\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ 和 $p$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ - \frac{32 (p \sqrt{5} + 32)}{5 p^{2} - 1024} & \frac{(p \sqrt{5} + 32) p}{5 p^{2} - 1024} \end{array}]$

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