有限数学示例

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 2

大小为 $2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $2 \times 2$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{2}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - λ) (- 1 - λ)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.2

将 $- λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.3

乘以 $- λ \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.3.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.2

将 $- λ$ 和 $λ$ 相加。

$p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.3

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2$

解题步骤 5.2.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 3$

解题步骤 6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{2} - 3 = 0$

解题步骤 7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$λ^{2} = 3$

解题步骤 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$λ = \sqrt{3}$

解题步骤 7.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$λ = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

小数形式：

$λ = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

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