有限数学示例

$[\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 2

大小为 $2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $2 \times 2$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $[\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{2}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.1 - λ & 0.9 + 0 \\ 0.4 + 0 & 0.6 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将 $0.9$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.1 - λ & 0.9 \\ 0.4 + 0 & 0.6 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将 $0.4$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.1 - λ & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (0.1 - λ) (0.6 - λ) - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(0.1 - λ) (0.6 - λ)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0.1 (0.6 - λ) - λ (0.6 - λ) - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0.1 \cdot 0.6 + 0.1 (- λ) - λ (0.6 - λ) - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0.1 \cdot 0.6 + 0.1 (- λ) - λ \cdot 0.6 - λ (- λ) - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.2.1.1

将 $0.1$ 乘以 $0.6$ 。

$p (λ) = 0.06 + 0.1 (- λ) - λ \cdot 0.6 - λ (- λ) - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0.1$ 。

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - λ \cdot 0.6 - λ (- λ) - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2.1.2.1.3

将 $0.6$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ - λ (- λ) - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ + 1 λ^{2} - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ + λ^{2} - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2.1.2.2

从 $- 0.1 λ$ 中减去 $0.6 λ$ 。

$p (λ) = 0.06 - 0.7 λ + λ^{2} - 0.4 \cdot 0.9$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 0.4$ 乘以 $0.9$ 。

$p (λ) = 0.06 - 0.7 λ + λ^{2} - 0.36$

解题步骤 5.2.2

从 $0.06$ 中减去 $0.36$ 。

$p (λ) = - 0.7 λ + λ^{2} - 0.3$

解题步骤 5.2.3

将 $- 0.7 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{2} - 0.7 λ - 0.3$

解题步骤 6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{2} - 0.7 λ - 0.3 = 0$

解题步骤 7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 0.7$ 和 $c = - 0.3$ 的值代入二次公式中并求解 $λ$ 。

$\frac{0.7 \pm \sqrt{{(- 0.7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 0.3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.3.1.1

对 $- 0.7$ 进行 $2$ 次方运算。

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{0.49 - 4 \cdot 1 \cdot - 0.3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 0.3$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{0.49 - 4 \cdot - 0.3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 0.3$ 。

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{0.49 + 1.2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.3

将 $0.49$ 和 $1.2$ 相加。

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{1.69}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.4

将 $1.69$ 重写为 ${1.3}^{2}$ 。

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{{1.3}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$λ = \frac{0.7 \pm 1.3}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{0.7 \pm 1.3}{2}$

解题步骤 7.4

最终答案为两个解的组合。

$λ = 1, - 0.3$

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