有限数学示例

${}_{120}C_{10}$

解题步骤 1

使用公式

${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ 求

${}_{120}C_{10}$ 的值。

$\frac{120!}{(120 - 10)! 10!}$

解题步骤 2

从

$120$ 中减去

$10$ 。

$\frac{120!}{(110)! 10!}$

解题步骤 3

化简

$\frac{120!}{(110)! 10!}$ 。

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解题步骤 3.1

将

$120!$ 重写为

$120 \cdot 119 \cdot 118 \cdot 117 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111 \cdot 110!$ 。

$\frac{120 \cdot 119 \cdot 118 \cdot 117 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111 \cdot 110!}{(110)! 10!}$

解题步骤 3.2

约去

$110!$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{120 \cdot 119 \cdot 118 \cdot 117 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111 \cdot 110!}{(110)! 10!}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{120 \cdot 119 \cdot 118 \cdot 117 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

将

$120$ 乘以

$119$ 。

$\frac{14280 \cdot 118 \cdot 117 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

解题步骤 3.3.2

将

$14280$ 乘以

$118$ 。

$\frac{1685040 \cdot 117 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

解题步骤 3.3.3

将

$1685040$ 乘以

$117$ 。

$\frac{197149680 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

解题步骤 3.3.4

将

$197149680$ 乘以

$116$ 。

$\frac{22869362880 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

解题步骤 3.3.5

将

$22869362880$ 乘以

$115$ 。

$\frac{2629976731200 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

解题步骤 3.3.6

将

$2629976731200$ 乘以

$114$ 。

$\frac{299817347356800 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

解题步骤 3.3.7

将

$299817347356800$ 乘以

$113$ 。

$\frac{33879360251318400 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

解题步骤 3.3.8

将

$33879360251318400$ 乘以

$112$ 。

$\frac{3794488348147660800 \cdot 111}{10!}$

解题步骤 3.3.9

将

$3794488348147660800$ 乘以

$111$ 。

$\frac{421188206644390348800}{10!}$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

将

$10!$ 展开为

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{421188206644390348800}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

乘以

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

将

$10$ 乘以

$9$ 。

$\frac{421188206644390348800}{90 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.2

将

$90$ 乘以

$8$ 。

$\frac{421188206644390348800}{720 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.3

将

$720$ 乘以

$7$ 。

$\frac{421188206644390348800}{5040 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.4

将

$5040$ 乘以

$6$ 。

$\frac{421188206644390348800}{30240 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.5

将

$30240$ 乘以

$5$ 。

$\frac{421188206644390348800}{151200 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.6

将

$151200$ 乘以

$4$ 。

$\frac{421188206644390348800}{604800 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.7

将

$604800$ 乘以

$3$ 。

$\frac{421188206644390348800}{1814400 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.8

将

$1814400$ 乘以

$2$ 。

$\frac{421188206644390348800}{3628800 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.9

将

$3628800$ 乘以

$1$ 。

$\frac{421188206644390348800}{3628800}$

解题步骤 3.5

用

$421188206644390348800$ 除以

$3628800$ 。

$116068178638776$

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