有限数学示例

${}_{196}C_{20}$

解题步骤 1

使用公式 ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ 求 ${}_{196}C_{20}$ 的值。

$\frac{196!}{(196 - 20)! 20!}$

解题步骤 2

从 $196$ 中减去 $20$ 。

$\frac{196!}{(176)! 20!}$

解题步骤 3

化简 $\frac{196!}{(176)! 20!}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $196!$ 重写为 $196 \cdot 195 \cdot 194 \cdot 193 \cdot 192 \cdot 191 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177 \cdot 176!$ 。

$\frac{196 \cdot 195 \cdot 194 \cdot 193 \cdot 192 \cdot 191 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177 \cdot 176!}{(176)! 20!}$

解题步骤 3.2

约去 $176!$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

将 $196$ 乘以 $195$ 。

$\frac{38220 \cdot 194 \cdot 193 \cdot 192 \cdot 191 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.2

将 $38220$ 乘以 $194$ 。

$\frac{7414680 \cdot 193 \cdot 192 \cdot 191 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.3

将 $7414680$ 乘以 $193$ 。

$\frac{1431033240 \cdot 192 \cdot 191 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.4

将 $1431033240$ 乘以 $192$ 。

$\frac{274758382080 \cdot 191 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.5

将 $274758382080$ 乘以 $191$ 。

$\frac{52478850977280 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.6

将 $52478850977280$ 乘以 $190$ 。

$\frac{9970981685683200 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.7

将 $9970981685683200$ 乘以 $189$ 。

$\frac{1884515538594124800 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.8

将 $1884515538594124800$ 乘以 $188$ 。

$\frac{354288921255695462400 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.9

将 $354288921255695462400$ 乘以 $187$ 。

$\frac{66252028274815051468800 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.10

将 $66252028274815051468800$ 乘以 $186$ 。

$\frac{12322877259115599573196800 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.11

将 $12322877259115599573196800$ 乘以 $185$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.12

将 $183$ 乘以 $184$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 33672 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.13

将 $182$ 乘以 $33672$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 6128304 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.14

将 $181$ 乘以 $6128304$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1109223024 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.15

将 $180$ 乘以 $1109223024$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 199660144320 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.16

将 $179$ 乘以 $199660144320$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 35739165833280 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.17

将 $178$ 乘以 $35739165833280$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 6361571518323840 \cdot 177}{20!}$

解题步骤 3.3.18

将 $177$ 乘以 $6361571518323840$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{20!}$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

将 $20!$ 展开为 $20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

乘以 $20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $20$ 乘以 $19$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{380 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.2

将 $380$ 乘以 $18$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{6840 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.3

将 $6840$ 乘以 $17$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{116280 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.4

将 $116280$ 乘以 $16$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{1860480 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.5

将 $1860480$ 乘以 $15$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{27907200 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.6

将 $27907200$ 乘以 $14$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{390700800 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.7

将 $390700800$ 乘以 $13$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{5079110400 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.8

将 $5079110400$ 乘以 $12$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{60949324800 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.9

将 $60949324800$ 乘以 $11$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{670442572800 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.10

将 $670442572800$ 乘以 $10$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{6704425728000 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.11

将 $6704425728000$ 乘以 $9$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{60339831552000 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.12

将 $60339831552000$ 乘以 $8$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{482718652416000 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.13

将 $482718652416000$ 乘以 $7$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{3379030566912000 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.14

将 $3379030566912000$ 乘以 $6$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{20274183401472000 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.15

将 $20274183401472000$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{101370917007360000 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.16

将 $101370917007360000$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{405483668029440000 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.17

将 $405483668029440000$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{1216451004088320000 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.18

将 $1216451004088320000$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{2432902008176640000 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.19

将 $2432902008176640000$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{2432902008176640000}$

解题步骤 3.5

约去 $2279732292936385921041408000$ 和 $2432902008176640000$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680$ 中分解出因数 $1689515283456000$ 。

$\frac{1689515283456000 (1349341030093 \cdot 1125998158743319680)}{2432902008176640000}$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $2432902008176640000$ 中分解出因数 $1689515283456000$ 。

$\frac{1689515283456000 (1349341030093 \cdot 1125998158743319680)}{1689515283456000 (1440)}$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1689515283456000 (1349341030093 \cdot 1125998158743319680)}{1689515283456000 \cdot 1440}$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1349341030093 \cdot 1125998158743319680}{1440}$

解题步骤 3.6

约去 $1125998158743319680$ 和 $1440$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $1349341030093 \cdot 1125998158743319680$ 中分解出因数 $1440$ 。

$\frac{1440 (1349341030093 \cdot 781943165793972)}{1440}$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

从 $1440$ 中分解出因数 $1440$ 。

$\frac{1440 (1349341030093 \cdot 781943165793972)}{1440 (1)}$

解题步骤 3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{1440 (1349341030093 \cdot 781943165793972)}{1440 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1349341030093 \cdot 781943165793972}{1}$

解题步骤 3.6.2.4

用 $1349341030093 \cdot 781943165793972$ 除以 $1$ 。

$1349341030093 \cdot 781943165793972$

解题步骤 3.7

将 $1349341030093$ 乘以 $781943165793972$ 。

$1055107996806619660689999396$

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