有限数学示例

${}_{29}C_{15}$

解题步骤 1

使用公式 ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ 求 ${}_{29}C_{15}$ 的值。

$\frac{29!}{(29 - 15)! 15!}$

解题步骤 2

从 $29$ 中减去 $15$ 。

$\frac{29!}{(14)! 15!}$

解题步骤 3

化简 $\frac{29!}{(14)! 15!}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $29!$ 重写为 $29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!$ 。

$\frac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{(14)! 15!}$

解题步骤 3.2

约去 $15!$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{(14)! 15!}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

将 $29$ 乘以 $28$ 。

$\frac{812 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3.2

将 $812$ 乘以 $27$ 。

$\frac{21924 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3.3

将 $21924$ 乘以 $26$ 。

$\frac{570024 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3.4

将 $570024$ 乘以 $25$ 。

$\frac{14250600 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3.5

将 $14250600$ 乘以 $24$ 。

$\frac{342014400 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3.6

将 $342014400$ 乘以 $23$ 。

$\frac{7866331200 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3.7

将 $7866331200$ 乘以 $22$ 。

$\frac{173059286400 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3.8

将 $173059286400$ 乘以 $21$ 。

$\frac{3634245014400 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3.9

将 $3634245014400$ 乘以 $20$ 。

$\frac{72684900288000 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3.10

将 $72684900288000$ 乘以 $19$ 。

$\frac{1381013105472000 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3.11

将 $1381013105472000$ 乘以 $18$ 。

$\frac{24858235898496000 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3.12

将 $24858235898496000$ 乘以 $17$ 。

$\frac{422590010274432000 \cdot 16}{(14)!}$

解题步骤 3.3.13

将 $422590010274432000$ 乘以 $16$ 。

$\frac{6761440164390912000}{(14)!}$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

将 $(14)!$ 展开为 $14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{6761440164390912000}{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

乘以 $14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $14$ 乘以 $13$ 。

$\frac{6761440164390912000}{182 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.2

将 $182$ 乘以 $12$ 。

$\frac{6761440164390912000}{2184 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.3

将 $2184$ 乘以 $11$ 。

$\frac{6761440164390912000}{24024 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.4

将 $24024$ 乘以 $10$ 。

$\frac{6761440164390912000}{240240 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.5

将 $240240$ 乘以 $9$ 。

$\frac{6761440164390912000}{2162160 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.6

将 $2162160$ 乘以 $8$ 。

$\frac{6761440164390912000}{17297280 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.7

将 $17297280$ 乘以 $7$ 。

$\frac{6761440164390912000}{121080960 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.8

将 $121080960$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6761440164390912000}{726485760 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.9

将 $726485760$ 乘以 $5$ 。

$\frac{6761440164390912000}{3632428800 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.10

将 $3632428800$ 乘以 $4$ 。

$\frac{6761440164390912000}{14529715200 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.11

将 $14529715200$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6761440164390912000}{43589145600 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.12

将 $43589145600$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6761440164390912000}{87178291200 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.13

将 $87178291200$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6761440164390912000}{87178291200}$

解题步骤 3.5

用 $6761440164390912000$ 除以 $87178291200$ 。

$77558760$

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