有限数学示例

2

$2$ ,

$6$ ,

$7$ ,

$8$ ,

$11$ ,

$12$ ,

$13$ ,

$14$

解题步骤 1

求平均值。

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解题步骤 1.1

一组数的平均值为其总和除以其个数。

$\overline{x} = \frac{2 + 6 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2

化简分子。

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解题步骤 1.2.1

将

$2$ 和

$6$ 相加。

$\overline{x} = \frac{8 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.2

将

$8$ 和

$7$ 相加。

$\overline{x} = \frac{15 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.3

将

$15$ 和

$8$ 相加。

$\overline{x} = \frac{23 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.4

将

$23$ 和

$11$ 相加。

$\overline{x} = \frac{34 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.5

将

$34$ 和

$11$ 相加。

$\overline{x} = \frac{45 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.6

将

$45$ 和

$11$ 相加。

$\overline{x} = \frac{56 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.7

将

$56$ 和

$12$ 相加。

$\overline{x} = \frac{68 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.8

将

$68$ 和

$12$ 相加。

$\overline{x} = \frac{80 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.9

将

$80$ 和

$13$ 相加。

$\overline{x} = \frac{93 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.10

将

$93$ 和

$13$ 相加。

$\overline{x} = \frac{106 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.11

将

$106$ 和

$14$ 相加。

$\overline{x} = \frac{120}{12}$

解题步骤 1.3

用

$120$ 除以

$12$ 。

$\overline{x} = 10$

解题步骤 2

化简列表中的每一个值。

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解题步骤 2.1

把

$2$ 转化成含小数位的数值。

$2$

解题步骤 2.2

把

$6$ 转化成含小数位的数值。

$6$

解题步骤 2.3

把

$7$ 转化成含小数位的数值。

$7$

解题步骤 2.4

把

$8$ 转化成含小数位的数值。

$8$

解题步骤 2.5

把

$11$ 转化成含小数位的数值。

$11$

解题步骤 2.6

把

$12$ 转化成含小数位的数值。

$12$

解题步骤 2.7

把

$13$ 转化成含小数位的数值。

$13$

解题步骤 2.8

把

$14$ 转化成含小数位的数值。

$14$

解题步骤 2.9

化简值为

$2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$ 。

$2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$

解题步骤 3

建立样本标准差公式。一组数值的标准差是对数值分布情况的量度。

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

解题步骤 4

建立此数集的标准差公式。

$s = \sqrt{\frac{{(2 - 10)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5

化简结果。

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解题步骤 5.1

从

$2$ 中减去

$10$ 。

$s = \sqrt{\frac{{(- 8)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.2

对

$- 8$ 进行

$2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.3

从

$6$ 中减去

$10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + {(- 4)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.4

对

$- 4$ 进行

$2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.5

从

$7$ 中减去

$10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(- 3)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.6

对

$- 3$ 进行

$2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.7

从

$8$ 中减去

$10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.8

对

$- 2$ 进行

$2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.9

从

$11$ 中减去

$10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.10

一的任意次幂都为一。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.11

从

$11$ 中减去

$10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.12

一的任意次幂都为一。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.13

从

$11$ 中减去

$10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.14

一的任意次幂都为一。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.15

从

$12$ 中减去

$10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 2^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.16

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.17

从

$12$ 中减去

$10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.18

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.19

从

$13$ 中减去

$10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 3^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.20

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.21

从

$13$ 中减去

$10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 3^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.22

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.23

从

$14$ 中减去

$10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 4^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.24

对

$4$ 进行

$2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.25

将

$64$ 和

$16$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{80 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.26

将

$80$ 和

$9$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{89 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.27

将

$89$ 和

$4$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{93 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.28

将

$93$ 和

$1$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{94 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.29

将

$94$ 和

$1$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{95 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.30

将

$95$ 和

$1$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{96 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.31

将

$96$ 和

$4$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{100 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.32

将

$100$ 和

$4$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{104 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.33

将

$104$ 和

$9$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{113 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.34

将

$113$ 和

$9$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{122 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.35

将

$122$ 和

$16$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{138}{12 - 1}}$

解题步骤 5.36

从

$12$ 中减去

$1$ 。

$s = \sqrt{\frac{138}{11}}$

解题步骤 5.37

将

$\sqrt{\frac{138}{11}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$

解题步骤 5.38

将

$\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

解题步骤 5.39

合并和化简分母。

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解题步骤 5.39.1

将

$\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

解题步骤 5.39.2

对

$\sqrt{11}$ 进行

$1$ 次方运算。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

解题步骤 5.39.3

对

$\sqrt{11}$ 进行

$1$ 次方运算。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

解题步骤 5.39.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.39.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

解题步骤 5.39.6

将

${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为

$11$ 。

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解题步骤 5.39.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{11}$ 重写成

$11^{\frac{1}{2}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.39.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.39.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.39.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.39.6.4.1

约去公因数。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.39.6.4.2

重写表达式。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

解题步骤 5.39.6.5

计算指数。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

解题步骤 5.40

化简分子。

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解题步骤 5.40.1

使用根数乘积法则进行合并。

$s = \frac{\sqrt{138 \cdot 11}}{11}$

解题步骤 5.40.2

将

$138$ 乘以

$11$ 。

$s = \frac{\sqrt{1518}}{11}$

解题步骤 6

标准差应四舍五入为比原始数据多一个小数位数。如果原始数据是混合数据，则应四舍五入至比最低精度多一个小数位数。

$3.5$

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