有限数学示例

$2$ , $6$ , $7$ , $8$ , $11$ , $11$ , $11$ , $12$ , $12$ , $13$ , $13$ , $14$

解题步骤 1

求平均值。

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解题步骤 1.1

一组数的平均值为其总和除以其个数。

$\overline{x} = \frac{2 + 6 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2

化简分子。

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解题步骤 1.2.1

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$\overline{x} = \frac{8 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.2

将 $8$ 和 $7$ 相加。

$\overline{x} = \frac{15 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.3

将 $15$ 和 $8$ 相加。

$\overline{x} = \frac{23 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.4

将 $23$ 和 $11$ 相加。

$\overline{x} = \frac{34 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.5

将 $34$ 和 $11$ 相加。

$\overline{x} = \frac{45 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.6

将 $45$ 和 $11$ 相加。

$\overline{x} = \frac{56 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.7

将 $56$ 和 $12$ 相加。

$\overline{x} = \frac{68 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.8

将 $68$ 和 $12$ 相加。

$\overline{x} = \frac{80 + 13 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.9

将 $80$ 和 $13$ 相加。

$\overline{x} = \frac{93 + 13 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.10

将 $93$ 和 $13$ 相加。

$\overline{x} = \frac{106 + 14}{12}$

解题步骤 1.2.11

将 $106$ 和 $14$ 相加。

$\overline{x} = \frac{120}{12}$

解题步骤 1.3

用 $120$ 除以 $12$ 。

$\overline{x} = 10$

解题步骤 2

化简列表中的每一个值。

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解题步骤 2.1

把 $2$ 转化成含小数位的数值。

$2$

解题步骤 2.2

把 $6$ 转化成含小数位的数值。

$6$

解题步骤 2.3

把 $7$ 转化成含小数位的数值。

$7$

解题步骤 2.4

把 $8$ 转化成含小数位的数值。

$8$

解题步骤 2.5

把 $11$ 转化成含小数位的数值。

$11$

解题步骤 2.6

把 $12$ 转化成含小数位的数值。

$12$

解题步骤 2.7

把 $13$ 转化成含小数位的数值。

$13$

解题步骤 2.8

把 $14$ 转化成含小数位的数值。

$14$

解题步骤 2.9

化简值为 $2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$ 。

$2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$

解题步骤 3

建立样本标准差公式。一组数值的标准差是对数值分布情况的量度。

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

解题步骤 4

建立此数集的标准差公式。

$s = \sqrt{\frac{{(2 - 10)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5

化简结果。

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解题步骤 5.1

从 $2$ 中减去 $10$ 。

$s = \sqrt{\frac{{(- 8)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.2

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.3

从 $6$ 中减去 $10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + {(- 4)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.4

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.5

从 $7$ 中减去 $10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(- 3)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.6

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.7

从 $8$ 中减去 $10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.8

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.9

从 $11$ 中减去 $10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.10

一的任意次幂都为一。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.11

从 $11$ 中减去 $10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.12

一的任意次幂都为一。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.13

从 $11$ 中减去 $10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.14

一的任意次幂都为一。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.15

从 $12$ 中减去 $10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 2^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.16

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.17

从 $12$ 中减去 $10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.18

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.19

从 $13$ 中减去 $10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 3^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.20

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.21

从 $13$ 中减去 $10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 3^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.22

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.23

从 $14$ 中减去 $10$ 。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 4^{2}}{12 - 1}}$

解题步骤 5.24

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.25

将 $64$ 和 $16$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{80 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.26

将 $80$ 和 $9$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{89 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.27

将 $89$ 和 $4$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{93 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.28

将 $93$ 和 $1$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{94 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.29

将 $94$ 和 $1$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{95 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.30

将 $95$ 和 $1$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{96 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.31

将 $96$ 和 $4$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{100 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.32

将 $100$ 和 $4$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{104 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.33

将 $104$ 和 $9$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{113 + 9 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.34

将 $113$ 和 $9$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{122 + 16}{12 - 1}}$

解题步骤 5.35

将 $122$ 和 $16$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{138}{12 - 1}}$

解题步骤 5.36

从 $12$ 中减去 $1$ 。

$s = \sqrt{\frac{138}{11}}$

解题步骤 5.37

将 $\sqrt{\frac{138}{11}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$

解题步骤 5.38

将 $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

解题步骤 5.39

合并和化简分母。

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解题步骤 5.39.1

将 $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

解题步骤 5.39.2

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

解题步骤 5.39.3

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

解题步骤 5.39.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.39.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

解题步骤 5.39.6

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 5.39.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.39.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.39.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.39.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.39.6.4.1

约去公因数。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.39.6.4.2

重写表达式。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

解题步骤 5.39.6.5

计算指数。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

解题步骤 5.40

化简分子。

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解题步骤 5.40.1

使用根数乘积法则进行合并。

$s = \frac{\sqrt{138 \cdot 11}}{11}$

解题步骤 5.40.2

将 $138$ 乘以 $11$ 。

$s = \frac{\sqrt{1518}}{11}$

解题步骤 6

标准差应四舍五入为比原始数据多一个小数位数。如果原始数据是混合数据，则应四舍五入至比最低精度多一个小数位数。

$3.5$

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