有限数学示例

${}_{42}C_{10}$

解题步骤 1

使用公式

${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ 求

${}_{42}C_{10}$ 的值。

$\frac{42!}{(42 - 10)! 10!}$

解题步骤 2

从

$42$ 中减去

$10$ 。

$\frac{42!}{(32)! 10!}$

解题步骤 3

化简

$\frac{42!}{(32)! 10!}$ 。

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解题步骤 3.1

将

$42!$ 重写为

$42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32!$ 。

$\frac{42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32!}{(32)! 10!}$

解题步骤 3.2

约去

$32!$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32!}{(32)! 10!}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{10!}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

将

$42$ 乘以

$41$ 。

$\frac{1722 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{10!}$

解题步骤 3.3.2

将

$1722$ 乘以

$40$ 。

$\frac{68880 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{10!}$

解题步骤 3.3.3

将

$68880$ 乘以

$39$ 。

$\frac{2686320 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{10!}$

解题步骤 3.3.4

将

$2686320$ 乘以

$38$ 。

$\frac{102080160 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{10!}$

解题步骤 3.3.5

将

$102080160$ 乘以

$37$ 。

$\frac{3776965920 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{10!}$

解题步骤 3.3.6

将

$3776965920$ 乘以

$36$ 。

$\frac{135970773120 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{10!}$

解题步骤 3.3.7

将

$135970773120$ 乘以

$35$ 。

$\frac{4758977059200 \cdot 34 \cdot 33}{10!}$

解题步骤 3.3.8

将

$4758977059200$ 乘以

$34$ 。

$\frac{161805220012800 \cdot 33}{10!}$

解题步骤 3.3.9

将

$161805220012800$ 乘以

$33$ 。

$\frac{5339572260422400}{10!}$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

将

$10!$ 展开为

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{5339572260422400}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

乘以

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

将

$10$ 乘以

$9$ 。

$\frac{5339572260422400}{90 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.2

将

$90$ 乘以

$8$ 。

$\frac{5339572260422400}{720 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.3

将

$720$ 乘以

$7$ 。

$\frac{5339572260422400}{5040 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.4

将

$5040$ 乘以

$6$ 。

$\frac{5339572260422400}{30240 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.5

将

$30240$ 乘以

$5$ 。

$\frac{5339572260422400}{151200 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.6

将

$151200$ 乘以

$4$ 。

$\frac{5339572260422400}{604800 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.7

将

$604800$ 乘以

$3$ 。

$\frac{5339572260422400}{1814400 \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.8

将

$1814400$ 乘以

$2$ 。

$\frac{5339572260422400}{3628800 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.9

将

$3628800$ 乘以

$1$ 。

$\frac{5339572260422400}{3628800}$

解题步骤 3.5

用

$5339572260422400$ 除以

$3628800$ 。

$1471442973$

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