有限数学示例

$r = 4 \sin (θ)$ , $r = 4 \cos (θ)$

解题步骤 1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$

解题步骤 2

求解 $θ$ 的 $4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$ 。

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解题步骤 2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (θ)$ 。

$\frac{4 \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 2.2

分离分数。

$\frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 转换成 $\tan (θ)$ 。

$\frac{4}{1} \cdot \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 2.5

约去 $\cos (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 2.5.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \tan (θ) = 4$

解题步骤 2.6

将 $4 \tan (θ) = 4$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $4 \tan (θ) = 4$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

解题步骤 2.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

解题步骤 2.6.2.1.2

用 $\tan (θ)$ 除以 $1$ 。

$\tan (θ) = \frac{4}{4}$

解题步骤 2.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.3.1

用 $4$ 除以 $4$ 。

$\tan (θ) = 1$

解题步骤 2.7

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (1)$

解题步骤 2.8

化简右边。

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解题步骤 2.8.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$θ = \frac{π}{4}$

解题步骤 2.9

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$θ = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 2.10

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 2.10.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 2.10.2

合并分数。

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解题步骤 2.10.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 2.10.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 2.10.3

化简分子。

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解题步骤 2.10.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 2.10.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$θ = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 2.11

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 2.11.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.11.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.11.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.11.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.12

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

当 $θ = \frac{π}{4} + π n$ 时计算 $r$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $\frac{π}{4} + π n$ 替换 $θ$ 。

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

解题步骤 3.2

去掉圆括号。

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

解题步骤 4

当 $θ = \frac{5 π}{4} + π n$ 时计算 $r$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $\frac{5 π}{4} + π n$ 替换 $θ$ 。

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

解题步骤 4.2

去掉圆括号。

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

解题步骤 5

方程组的解是使方程组成立的所有值。

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$

解题步骤 6

列出所有解。

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n$

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$

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