有限数学示例

9 y - 5 x = 3

$9 y - 5 x = 3$ ,

x + y = 1

$x + y = 1$ ,

z + 2 y = 2

$z + 2 y = 2$

解题步骤 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

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解题步骤 1.1

将

9 y

$9 y$ 和

- 5 x

$- 5 x$ 重新排序。

- 5 x + 9 y = 3

$- 5 x + 9 y = 3$

x + y = 1

$x + y = 1$

z + 2 y = 2

$z + 2 y = 2$

解题步骤 1.2

将

z

$z$ 和

2 y

$2 y$ 重新排序。

- 5 x + 9 y = 3

$- 5 x + 9 y = 3$

x + y = 1

$x + y = 1$

2 y + z = 2

$2 y + z = 2$

- 5 x + 9 y = 3

$- 5 x + 9 y = 3$

x + y = 1

$x + y = 1$

2 y + z = 2

$2 y + z = 2$

解题步骤 2

以矩阵形式表示方程组。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 5 & 9 & 0 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 312 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 5 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$

解题步骤 3

Find the determinant of the coefficient matrix

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 5 & 9 & 0 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 5 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$ .

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解题步骤 3.1

Write

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 5 & 9 & 0 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 5 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$ in determinant notation.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 & 0 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

3

$3$ by its cofactor and add.

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解题步骤 3.2.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 3.2.3

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 0 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

解题步骤 3.2.4

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 0 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

解题步骤 3.2.5

The minor for

a_{23}

$a_{23}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 0 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} |$

解题步骤 3.2.6

Multiply element

a_{23}

$a_{23}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 0 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} |$

解题步骤 3.2.7

The minor for

a_{33}

$a_{33}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.8

Multiply element

a_{33}

$a_{33}$ by its cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.9

Add the terms together.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 0 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 0 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 0 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 0 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.3

将

0

$0$ 乘以

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 0 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$ 。

0 + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 0 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.4

将

0

$0$ 乘以

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 0 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} |$ 。

0 + 0 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.5

计算

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 5 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.5.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

0 + 0 + 1 (- 5 \cdot 1 - 1 \cdot 9)

$0 + 0 + 1 (- 5 \cdot 1 - 1 \cdot 9)$

解题步骤 3.5.2

化简行列式。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

将

- 5

$- 5$ 乘以

1

$1$ 。

0 + 0 + 1 (- 5 - 1 \cdot 9)

$0 + 0 + 1 (- 5 - 1 \cdot 9)$

解题步骤 3.5.2.1.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

9

$9$ 。

0 + 0 + 1 (- 5 - 9)

$0 + 0 + 1 (- 5 - 9)$

0 + 0 + 1 (- 5 - 9)

$0 + 0 + 1 (- 5 - 9)$

解题步骤 3.5.2.2

从

- 5

$- 5$ 中减去

9

$9$ 。

0 + 0 + 1 \cdot - 14

$0 + 0 + 1 \cdot - 14$

0 + 0 + 1 \cdot - 14

$0 + 0 + 1 \cdot - 14$

0 + 0 + 1 \cdot - 14

$0 + 0 + 1 \cdot - 14$

解题步骤 3.6

化简行列式。

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解题步骤 3.6.1

将

- 14

$- 14$ 乘以

1

$1$ 。

0 + 0 - 14

$0 + 0 - 14$

解题步骤 3.6.2

将

0

$0$ 和

0

$0$ 相加。

0 - 14

$0 - 14$

解题步骤 3.6.3

从

0

$0$ 中减去

14

$14$ 。

- 14

$- 14$

- 14

$- 14$

D = - 14

$D = - 14$

解题步骤 4

Since the determinant is not

0

$0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

解题步骤 5

Find the value of

x

$x$ by Cramer's Rule, which states that

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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解题步骤 5.1

Replace column

1

$1$ of the coefficient matrix that corresponds to the

x

$x$ -coefficients of the system with

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 312 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 & 0 1 & 1 & 0 2 & 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2

Find the determinant.

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解题步骤 5.2.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

3

$3$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.2.1.3

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 2 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.4

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 2 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.5

The minor for

a_{23}

$a_{23}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 2 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.6

Multiply element

a_{23}

$a_{23}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 2 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.7

The minor for

a_{33}

$a_{33}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.8

Multiply element

a_{33}

$a_{33}$ by its cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.1.9

Add the terms together.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 2 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 2 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 2 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 2 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2

将

0

$0$ 乘以

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 2 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$ 。

0 + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 2 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.3

将

0

$0$ 乘以

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 2 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} |$ 。

0 + 0 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.4

计算

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 9 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

0 + 0 + 1 (3 \cdot 1 - 1 \cdot 9)

$0 + 0 + 1 (3 \cdot 1 - 1 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.2.1.1

将

3

$3$ 乘以

1

$1$ 。

0 + 0 + 1 (3 - 1 \cdot 9)

$0 + 0 + 1 (3 - 1 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.4.2.1.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

9

$9$ 。

0 + 0 + 1 (3 - 9)

$0 + 0 + 1 (3 - 9)$

0 + 0 + 1 (3 - 9)

$0 + 0 + 1 (3 - 9)$

解题步骤 5.2.4.2.2

从

3

$3$ 中减去

9

$9$ 。

0 + 0 + 1 \cdot - 6

$0 + 0 + 1 \cdot - 6$

0 + 0 + 1 \cdot - 6

$0 + 0 + 1 \cdot - 6$

0 + 0 + 1 \cdot - 6

$0 + 0 + 1 \cdot - 6$

解题步骤 5.2.5

化简行列式。

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解题步骤 5.2.5.1

将

- 6

$- 6$ 乘以

1

$1$ 。

0 + 0 - 6

$0 + 0 - 6$

解题步骤 5.2.5.2

将

0

$0$ 和

0

$0$ 相加。

0 - 6

$0 - 6$

解题步骤 5.2.5.3

从

0

$0$ 中减去

6

$6$ 。

- 6

$- 6$

- 6

$- 6$

D_{x} = - 6

$D_{x} = - 6$

解题步骤 5.3

Use the formula to solve for

x

$x$ .

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 5.4

Substitute

- 14

$- 14$ for

D

$D$ and

- 6

$- 6$ for

D_{x}

$D_{x}$ in the formula.

x = \frac{- 6}{- 14}

$x = \frac{- 6}{- 14}$

解题步骤 5.5

约去

- 6

$- 6$ 和

- 14

$- 14$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从

- 6

$- 6$ 中分解出因数

- 2

$- 2$ 。

x = \frac{- 2 (3)}{- 14}

$x = \frac{- 2 (3)}{- 14}$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.2.1

从

- 14

$- 14$ 中分解出因数

- 2

$- 2$ 。

x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 7}

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 7}$

解题步骤 5.5.2.2

约去公因数。

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 7}$

解题步骤 5.5.2.3

重写表达式。

$x = \frac{3}{7}$

解题步骤 6

Find the value of

$y$ by Cramer's Rule, which states that

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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解题步骤 6.1

Replace column

$2$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$y$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 5 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2

Find the determinant.

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解题步骤 6.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$3$ by its cofactor and add.

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解题步骤 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 6.2.1.3

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.4

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.5

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.6

Multiply element

$a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.7

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.8

Multiply element

$a_{33}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.2

将

$0$ 乘以

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$ 。

$0 + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.3

将

$0$ 乘以

$| \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} |$ 。

$0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 6.2.4

计算

$| \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 + 0 + 1 (- 5 \cdot 1 - 1 \cdot 3)$

解题步骤 6.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.4.2.1.1

将

$- 5$ 乘以

$1$ 。

$0 + 0 + 1 (- 5 - 1 \cdot 3)$

解题步骤 6.2.4.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$0 + 0 + 1 (- 5 - 3)$

解题步骤 6.2.4.2.2

从

$- 5$ 中减去

$3$ 。

$0 + 0 + 1 \cdot - 8$

解题步骤 6.2.5

化简行列式。

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解题步骤 6.2.5.1

将

$- 8$ 乘以

$1$ 。

$0 + 0 - 8$

解题步骤 6.2.5.2

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$0 - 8$

解题步骤 6.2.5.3

从

$0$ 中减去

$8$ 。

$- 8$

$D_{y} = - 8$

解题步骤 6.3

Use the formula to solve for

$y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 6.4

Substitute

$- 14$ for

$D$ and

$- 8$ for

$D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 8}{- 14}$

解题步骤 6.5

约去

$- 8$ 和

$- 14$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从

$- 8$ 中分解出因数

$- 2$ 。

$y = \frac{- 2 (4)}{- 14}$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

从

$- 14$ 中分解出因数

$- 2$ 。

$y = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 7}$

解题步骤 6.5.2.2

约去公因数。

$y = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 7}$

解题步骤 6.5.2.3

重写表达式。

$y = \frac{4}{7}$

解题步骤 7

Find the value of

$z$ by Cramer's Rule, which states that

$z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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解题步骤 7.1

Replace column

$3$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$z$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 7.2

Find the determinant.

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解题步骤 7.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 7.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 7.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.5

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.6

Multiply element

$a_{21}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.7

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.8

Multiply element

$a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.1.9

Add the terms together.

$- 5 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 7.2.2

将

$0$ 乘以

$| \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

$- 5 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.3

计算

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 5 (1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.2.1.1

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$- 5 (2 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.3.2.1.2

将

$- 2$ 乘以

$1$ 。

$- 5 (2 - 2) - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.3.2.2

从

$2$ 中减去

$2$ 。

$- 5 \cdot 0 - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 7.2.4

计算

$| \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 5 \cdot 0 - 1 (9 \cdot 2 - 2 \cdot 3) + 0$

解题步骤 7.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.4.2.1.1

将

$9$ 乘以

$2$ 。

$- 5 \cdot 0 - 1 (18 - 2 \cdot 3) + 0$

解题步骤 7.2.4.2.1.2

将

$- 2$ 乘以

$3$ 。

$- 5 \cdot 0 - 1 (18 - 6) + 0$

解题步骤 7.2.4.2.2

从

$18$ 中减去

$6$ 。

$- 5 \cdot 0 - 1 \cdot 12 + 0$

解题步骤 7.2.5

化简行列式。

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解题步骤 7.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.5.1.1

将

$- 5$ 乘以

$0$ 。

$0 - 1 \cdot 12 + 0$

解题步骤 7.2.5.1.2

将

$- 1$ 乘以

$12$ 。

$0 - 12 + 0$

解题步骤 7.2.5.2

从

$0$ 中减去

$12$ 。

$- 12 + 0$

解题步骤 7.2.5.3

将

$- 12$ 和

$0$ 相加。

$- 12$

$D_{z} = - 12$

解题步骤 7.3

Use the formula to solve for

$z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

解题步骤 7.4

Substitute

$- 14$ for

$D$ and

$- 12$ for

$D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{- 12}{- 14}$

解题步骤 7.5

约去

$- 12$ 和

$- 14$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

从

$- 12$ 中分解出因数

$- 2$ 。

$z = \frac{- 2 (6)}{- 14}$

解题步骤 7.5.2

约去公因数。

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解题步骤 7.5.2.1

从

$- 14$ 中分解出因数

$- 2$ 。

$z = \frac{- 2 \cdot 6}{- 2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.2.2

约去公因数。

$z = \frac{- 2 \cdot 6}{- 2 \cdot 7}$

解题步骤 7.5.2.3

重写表达式。

$z = \frac{6}{7}$

解题步骤 8

列出方程组的解。

$x = \frac{3}{7}$

$y = \frac{4}{7}$

$z = \frac{6}{7}$

有限数学 示例

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