有限数学示例

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3} > 0$

解题步骤 1

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{x^{2} + 3 | x |}{x + 3} > 0$

解题步骤 2

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$x^{2} + 3 | x | = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$3 | x | = - x^{2}$

解题步骤 4

将 $3 | x | = - x^{2}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $3 | x | = - x^{2}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $| x |$ 除以 $1$ 。

$| x | = \frac{- x^{2}}{3}$

解题步骤 4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将负号移到分数的前面。

$| x | = - \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 5

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm (- \frac{x^{2}}{3})$

解题步骤 6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = - \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 6.2

两边同时乘以 $3$ 。

$x \cdot 3 = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

解题步骤 6.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 x = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1.1

将 $- \frac{x^{2}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

解题步骤 6.3.2.1.2

约去公因数。

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

解题步骤 6.3.2.1.3

重写表达式。

$3 x = - x^{2}$

解题步骤 6.4

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

在等式两边都加上 $x^{2}$ 。

$3 x + x^{2} = 0$

解题步骤 6.4.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.1

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$3 u + u^{2} = 0$

解题步骤 6.4.2.2

从 $3 u + u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.2.1

从 $3 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 3 + u^{2} = 0$

解题步骤 6.4.2.2.2

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 3 + u \cdot u = 0$

解题步骤 6.4.2.2.3

从 $u \cdot 3 + u \cdot u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (3 + u) = 0$

解题步骤 6.4.2.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (3 + x) = 0$

解题步骤 6.4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$3 + x = 0$

解题步骤 6.4.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.4.5

将 $3 + x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.5.1

将 $3 + x$ 设为等于 $0$ 。

$3 + x = 0$

解题步骤 6.4.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 6.4.6

最终解为使 $x (3 + x) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 3$

解题步骤 6.5

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 6.6

两边同时乘以 $3$ 。

$x \cdot 3 = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

解题步骤 6.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.7.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.7.1.1

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

解题步骤 6.7.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.7.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.7.2.1.1

约去公因数。

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

解题步骤 6.7.2.1.2

重写表达式。

$3 x = x^{2}$

解题步骤 6.8

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$3 x - x^{2} = 0$

解题步骤 6.8.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.2.1

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$3 u - u^{2} = 0$

解题步骤 6.8.2.2

从 $3 u - u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.2.2.1

从 $3 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

解题步骤 6.8.2.2.2

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

解题步骤 6.8.2.2.3

从 $u \cdot 3 + u (- u)$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (3 - u) = 0$

解题步骤 6.8.2.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (3 - x) = 0$

解题步骤 6.8.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$3 - x = 0$

解题步骤 6.8.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.8.5

将 $3 - x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.5.1

将 $3 - x$ 设为等于 $0$ 。

$3 - x = 0$

解题步骤 6.8.5.2

求解 $x$ 的 $3 - x = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.5.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- x = - 3$

解题步骤 6.8.5.2.2

将 $- x = - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.5.2.2.1

将 $- x = - 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 6.8.5.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 6.8.5.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 6.8.5.2.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.5.2.2.3.1

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$x = 3$

解题步骤 6.8.6

最终解为使 $x (3 - x) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3$

解题步骤 6.9

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 0, - 3, 3$

解题步骤 7

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 8

求解每个因式，以求出绝对值表达式从负数变为正数的值。

$x = 0, - 3, 3$

$x = - 3$

解题步骤 9

合并解集。

$x = 0, - 3, 3, - 3$

解题步骤 10

求 $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

将 $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 3 = 0$

解题步骤 10.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 10.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

解题步骤 11

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

解题步骤 12

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

检验区间 $x < - 3$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1

选择区间 $x < - 3$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 6$

解题步骤 12.1.2

使用原不等式中的 $- 6$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(- 6)}^{2} + | 3 (- 6) |}{(- 6) + 3} > 0$

解题步骤 12.1.3

左边的 $- 18$ 不大于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 12.2

检验区间 $- 3 < x < 0$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1

选择区间 $- 3 < x < 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 2$

解题步骤 12.2.2

使用原不等式中的 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(- 2)}^{2} + | 3 (- 2) |}{(- 2) + 3} > 0$

解题步骤 12.2.3

左边的 $10$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 12.3

检验区间 $0 < x < 3$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.3.1

选择区间 $0 < x < 3$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

解题步骤 12.3.2

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(2)}^{2} + | 3 (2) |}{(2) + 3} > 0$

解题步骤 12.3.3

左边的 $2$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 12.4

检验区间 $x > 3$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.1

选择区间 $x > 3$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 6$

解题步骤 12.4.2

使用原不等式中的 $6$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(6)}^{2} + | 3 (6) |}{(6) + 3} > 0$

解题步骤 12.4.3

左边的 $6$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 12.5

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 3$ 为假

$- 3 < x < 0$ 为真

$0 < x < 3$ 为真

$x > 3$ 为真

$x < - 3$ 为假

$- 3 < x < 0$ 为真

$0 < x < 3$ 为真

$x > 3$ 为真

解题步骤 13

解由使等式成立的所有区间组成。

$- 3 < x < 0$ 或 $0 < x < 3$ 或 $x > 3$

解题步骤 14

把不等式转换成区间计数法。

$(- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 15

有限数学 示例

有限数学示例