有限数学示例

$f (x) = 4^{2} + 24 x + 47$

解题步骤 1

化简 $4^{2} + 24 x + 47$ 。

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解题步骤 1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 16 + 24 x + 47$

解题步骤 1.2

将 $16$ 和 $47$ 相加。

$y = 24 x + 63$

解题步骤 2

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

解题步骤 3

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{12}, \pm \frac{1}{24}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{4}, \pm \frac{7}{6}, \pm \frac{7}{8}, \pm \frac{7}{12}, \pm \frac{7}{24}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{8}, \pm 21, \pm \frac{21}{2}, \pm \frac{21}{4}, \pm \frac{21}{8}, \pm 63, \pm \frac{63}{2}, \pm \frac{63}{4}, \pm \frac{63}{8}$

解题步骤 4

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

$24 (- \frac{21}{8}) + 63$

解题步骤 5

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = - \frac{21}{8}$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1

将 $- \frac{21}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$24 (\frac{- 21}{8}) + 63$

解题步骤 5.1.1.2

从 $24$ 中分解出因数 $8$ 。

$8 (3) \frac{- 21}{8} + 63$

解题步骤 5.1.1.3

约去公因数。

$8 \cdot 3 \frac{- 21}{8} + 63$

解题步骤 5.1.1.4

重写表达式。

$3 \cdot - 21 + 63$

解题步骤 5.1.2

将 $3$ 乘以 $- 21$ 。

$- 63 + 63$

解题步骤 5.2

将 $- 63$ 和 $63$ 相加。

$0$

解题步骤 6

因为 $- \frac{21}{8}$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x + \frac{21}{8}$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{24 x + 63}{x + \frac{21}{8}}$

解题步骤 7

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 7.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$

解题步骤 7.2

将被除数 $(24)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$

	$24$

解题步骤 7.3

将结果 $(24)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{21}{8})$ 并将 $(- 63)$ 的结果置于被除数 $(63)$ 的下一项下方。

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$
		$- 63$
	$24$

解题步骤 7.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$
		$- 63$
	$24$	$0$

解题步骤 7.5

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$24$

解题步骤 8

因为 $24 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 9

多项式可写成一组线性因式。

$x + \frac{21}{8}$

解题步骤 10

这些是多项式 $24 x + 63$ 的根（零点）。

$x = - \frac{21}{8}$

解题步骤 11

有限数学 示例

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