有限数学示例

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (3 x - 1)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\log_{3} (3 x - 1)$ 。

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

解题步骤 2

化简 $\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{3} ((5 - x) (x + 1)) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

解题步骤 2.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$

解题步骤 3

利用对数的定义将 $\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$3^{0} = \frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}$

解题步骤 4

交叉相乘以去掉分数。

$(5 - x) (x + 1) = 3^{0} (3 x - 1)$

解题步骤 5

化简 $3^{0} (3 x - 1)$ 。

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解题步骤 5.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$(5 - x) (x + 1) = 1 (3 x - 1)$

解题步骤 5.2

将 $3 x - 1$ 乘以 $1$ 。

$(5 - x) (x + 1) = 3 x - 1$

解题步骤 6

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$(5 - x) (x + 1) - 3 x = - 1$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(5 - x) (x + 1)$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

运用分配律。

$5 (x + 1) - x (x + 1) - 3 x = - 1$

解题步骤 6.2.1.2

运用分配律。

$5 x + 5 \cdot 1 - x (x + 1) - 3 x = - 1$

解题步骤 6.2.1.3

运用分配律。

$5 x + 5 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

解题步骤 6.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 x + 5 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

解题步骤 6.2.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$5 x + 5 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x + 5 - x^{2} - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

解题步骤 6.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$5 x + 5 - x^{2} - x - 3 x = - 1$

解题步骤 6.2.2.2

从 $5 x$ 中减去 $x$ 。

$4 x + 5 - x^{2} - 3 x = - 1$

解题步骤 6.3

从 $4 x$ 中减去 $3 x$ 。

$x + 5 - x^{2} = - 1$

解题步骤 7

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x - x^{2} = - 1 - 5$

解题步骤 7.2

从 $- 1$ 中减去 $5$ 。

$x - x^{2} = - 6$

解题步骤 8

在等式两边都加上 $6$ 。

$x - x^{2} + 6 = 0$

解题步骤 9

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 9.1

从 $x - x^{2} + 6$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 9.1.1

将 $x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + x + 6 = 0$

解题步骤 9.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

解题步骤 9.1.3

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

解题步骤 9.1.4

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

解题步骤 9.1.5

从 $- (x^{2}) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

解题步骤 9.1.6

从 $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

解题步骤 9.2

因数。

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解题步骤 9.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 9.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 9.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

解题步骤 9.2.2

去掉多余的括号。

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

解题步骤 10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 11

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 11.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 12

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 12.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 13

最终解为使 $- (x - 3) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - 2$

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