微积分学示例

$\int_{0}^{2} (\frac{4}{5} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + \frac{2}{5} t) d t$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{2} \frac{4}{5} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + \frac{2}{5} t d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} \frac{4}{5} t^{3} d t + \int_{0}^{2} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{4}{5}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{4}{5}$ 移到积分外。

$\frac{4}{5} \int_{0}^{2} t^{3} d t + \int_{0}^{2} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t^{3}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{4} t^{4}$ 。

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

解题步骤 5

由于 $- \frac{3}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- \frac{3}{4}$ 移到积分外。

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \int_{0}^{2} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

解题步骤 6

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

解题步骤 7

由于 $\frac{2}{5}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{2}{5}$ 移到积分外。

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \frac{2}{5} \int_{0}^{2} t d t$

解题步骤 8

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{2}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{1}{4} t^{4}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{4}{5} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{2}$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{1}{3} t^{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{2}$

解题步骤 9.3

计算 $\frac{1}{2} t^{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $16$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.3

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{5} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.3.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{4}{5} (4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4}{5} (4 - \frac{1}{4} \cdot 0) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.5

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{5} (4 + 0 (\frac{1}{4})) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.6

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4}{5} (4 + 0) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.7

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{5} \cdot 4 - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.8

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.9

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.10

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.12

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.13

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.14

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} + 0) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.15

将 $\frac{8}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.16

将 $\frac{8}{3}$ 乘以 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{16}{5} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.17

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{16}{5} - \frac{24}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.18

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16}{5} - \frac{24}{12} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.19

约去 $24$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.19.1

从 $24$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{16}{5} - \frac{12 \cdot 2}{12} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.19.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.19.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{16}{5} - \frac{12 \cdot 2}{12 (1)} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.19.2.2

约去公因数。

$\frac{16}{5} - \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 1} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.19.2.3

重写表达式。

$\frac{16}{5} - \frac{2}{1} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.19.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{16}{5} - 1 \cdot 2 + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.20

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16}{5} - 2 + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.21

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{16}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.22

组合 $- 2$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.23

在公分母上合并分子。

$\frac{16 - 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.24

化简分子。

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解题步骤 9.4.24.1

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{16 - 10}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.24.2

从 $16$ 中减去 $10$ 。

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.25

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.26

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.27

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.27.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.27.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.27.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.27.2.2

约去公因数。

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.27.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.27.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 9.4.28

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

解题步骤 9.4.29

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 + 0 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 9.4.30

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 + 0)$

解题步骤 9.4.31

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} \cdot 2$

解题步骤 9.4.32

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $2$ 。

$\frac{6}{5} + \frac{2 \cdot 2}{5}$

解题步骤 9.4.33

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{5} + \frac{4}{5}$

解题步骤 9.4.34

在公分母上合并分子。

$\frac{6 + 4}{5}$

解题步骤 9.4.35

将 $6$ 和 $4$ 相加。

$\frac{10}{5}$

解题步骤 9.4.36

约去 $10$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.36.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 2}{5}$

解题步骤 9.4.36.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.36.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

解题步骤 9.4.36.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

解题步骤 9.4.36.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1}$

解题步骤 9.4.36.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10

微积分学 示例

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