微积分学示例

$y = \frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用求加法法则求导。

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解题步骤 3.2.1

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.2.2

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.2

运用分配律。

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.3

运用分配律。

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.4

化简分子。

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解题步骤 3.6.4.1

合并 $e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.6.4.1.1

按照 $e^{x} \cos (x)$ 和 $- \cos (x) e^{x}$ 重新排列因数。

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.4.1.2

从 $e^{x} \cos (x)$ 中减去 $e^{x} \cos (x)$ 。

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} + 0}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.4.1.3

将 $e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.4.3

从 $- e^{x} \sin (x)$ 中减去 $\sin (x) e^{x}$ 。

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解题步骤 3.6.4.3.1

移动 $\sin (x)$ 。

$\frac{- e^{x} \sin (x) - 1 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.4.3.2

从 $- e^{x} \sin (x)$ 中减去 $e^{x} \sin (x)$ 。

$\frac{- 2 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.5

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.5.1

从 $- 2 e^{x} \sin (x)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.5.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 3.6.5.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 3.6.5.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 e^{- x} \sin (x)}{1}$

解题步骤 3.6.5.2.4

用 $- 2 e^{- x} \sin (x)$ 除以 $1$ 。

$- 2 e^{- x} \sin (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 2 e^{- x} \sin (x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{- x} \sin (x)$

微积分学 示例

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