微积分学示例

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

合并 $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.3

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 重写为 ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 2}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 2.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 2.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$4 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

解题步骤 2.3.5.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 {(x - 1)}^{- 3}$

解题步骤 2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.4.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$ 。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

微积分学 示例

微积分学示例