微积分学示例

$y = \sqrt{3 + 7 x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 + 7 x}$ 重写成 ${(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 3 + 7 x$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 + 7 x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + 7 x]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 7 x]$

解题步骤 4.1.3

使用 $3 + 7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 7 x]$

解题步骤 4.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 7 x]$

解题步骤 4.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 7 x]$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(3 + 7 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 7 x]$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(3 + 7 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 7 x]$

解题步骤 4.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(3 + 7 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 7 x]$

解题步骤 4.6

合并分数。

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解题步骤 4.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(3 + 7 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 7 x]$

解题步骤 4.6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(3 + 7 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(3 + 7 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + 7 x]$

解题步骤 4.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(3 + 7 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + 7 x]$

解题步骤 4.7

根据加法法则， $3 + 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 。

$\frac{1}{2 {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 4.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 4.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [7 x]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 4.10

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.11

组合 $7$ 和 $\frac{1}{2 {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{7}{2 {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{7}{2 {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 4.13

将 $\frac{7}{2 {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7}{2 {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{7}{2 {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{2 {(3 + 7 x)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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