微积分学示例

$y = \ln (\cos (x))$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\cos (x)))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\sec (x) (- \sin (x))$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

重新排序 $\sec (x) (- \sin (x))$ 的因式。

$- \sec (x) \sin (x)$

解题步骤 3.4.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

解题步骤 3.4.3

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.4.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$- \tan (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \tan (x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \tan (x)$

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