微积分学示例

$\sin (4 y) = x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\sin (4 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 y$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $4 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (4 y) \frac{d}{d x} [4 y]$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\cos (4 y) (4 \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\cos (4 y) (4 y')$

解题步骤 2.4

重新排序 $\cos (4 y) (4 y')$ 的因式。

$4 \cos (4 y) y'$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$4 \cos (4 y) y' = 1$

解题步骤 5

将 $4 \cos (4 y) y' = 1$ 中的每一项除以 $4 \cos (4 y)$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $4 \cos (4 y) y' = 1$ 中的每一项都除以 $4 \cos (4 y)$ 。

$\frac{4 \cos (4 y) y'}{4 \cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \cos (4 y) y'}{4 \cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

解题步骤 5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\cos (4 y) y'}{\cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

解题步骤 5.2.2

约去 $\cos (4 y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos (4 y) y'}{\cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

解题步骤 5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

分离分数。

$y' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (4 y)}$

解题步骤 5.3.2

将 $\frac{1}{\cos (4 y)}$ 转换成 $\sec (4 y)$ 。

$y' = \frac{1}{4} \sec (4 y)$

解题步骤 5.3.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sec (4 y)$ 。

$y' = \frac{\sec (4 y)}{4}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (4 y)}{4}$

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