微积分学示例

$f (x) = x^{2} + x - 12$ ; $[0, 24]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 24]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} + x - 12 d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} d x + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

解题步骤 9

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24}$ 和 $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

解题步骤 9.1.2

组合 $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ 和 $- 12 x]_{0}^{24}$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x]_{0}^{24})$

解题步骤 9.2

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x$ 在 $24$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 24^{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.1

对 $24$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 13824 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $13824$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{13824}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.3

约去 $13824$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.3.1

从 $13824$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.3.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.3.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{4608}{1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.3.2.4

用 $4608$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.4

对 $24$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 576 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $576$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{576}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.6

约去 $576$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.6.1

从 $576$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 (1)} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.6.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 \cdot 1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.6.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{288}{1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.6.2.4

用 $288$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 288 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.7

将 $4608$ 和 $288$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.8

将 $- 12$ 乘以 $24$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 288 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.9

从 $4896$ 中减去 $288$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.11

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.12

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.13

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0 - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.14

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 - 12 \cdot 0))$

解题步骤 9.2.2.15

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0))$

解题步骤 9.2.2.16

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - 0)$

解题步骤 9.2.2.17

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 0)$

解题步骤 9.2.2.18

将 $4608$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608)$

解题步骤 10

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{24 + 0} \cdot 4608$

解题步骤 10.2

将 $24$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot 4608$

解题步骤 11

约去 $24$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

从 $4608$ 中分解出因数 $24$ 。

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 (192))$

解题步骤 11.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 \cdot 192)$

解题步骤 11.3

重写表达式。

$A (x) = 192$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例