微积分学示例

$\tan (x)$

解题步骤 1

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

解题步骤 2.3

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

解题步骤 2.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

解题步骤 2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

解题步骤 2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

解题步骤 3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

解题步骤 3.5.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

解题步骤 3.6

将 $2$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 3.7

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 3.8

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

解题步骤 3.9

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) \sec (x))$

解题步骤 3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

解题步骤 3.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

解题步骤 3.12

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)))$

解题步骤 3.13

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)))$

解题步骤 3.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 3.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

解题步骤 3.16

化简。

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解题步骤 3.16.1

运用分配律。

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

解题步骤 3.16.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 3.16.3

重新排序项。

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$

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