微积分学示例

$x e^{x}$

解题步骤 1

将 $x e^{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x e^{x}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

解题步骤 2.1.3.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x e^{x} + e^{x}$ 。

$x e^{x} + e^{x}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x e^{x} + e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x e^{x} + e^{x} = 0$

解题步骤 3.2

从 $x e^{x} + e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x + e^{x} = 0$

解题步骤 3.2.2

乘以 $1$ 。

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (x + 1) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.4

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 3.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 3.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3.6

最终解为使 $e^{x} (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = x e^{x}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ 。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

解题步骤 6.2.1.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

解题步骤 6.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

解题步骤 6.2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

解题步骤 6.2.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{e^{2}}$ 。

$- \frac{1}{e^{2}}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 2$ 处，导数为 $- \frac{1}{e^{2}}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 1)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$f' (0) = 0 + e^{0}$

解题步骤 7.2.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f' (0) = 0 + 1$

解题步骤 7.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f' (0) = 1$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 7.3

在 $x = 0$ 处，导数为 $1$ 。由于其值为正，函数在 $(- 1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 1, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- 1, \infty)$

递减于： $(- \infty, - 1)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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