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微积分学 示例
解题步骤 1
解题步骤 1.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 1.2
计算 。
解题步骤 1.2.1
将 重写为 。
解题步骤 1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.4
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.2
计算 。
解题步骤 2.2.1
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.2.2
将 重写为 。
解题步骤 2.2.3
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.2.3.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 2.2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.2.3.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 2.2.4
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.2.5
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 2.2.6
将 中的指数相乘。
解题步骤 2.2.6.1
运用幂法则并将指数相乘,。
解题步骤 2.2.6.2
将 乘以 。
解题步骤 2.2.7
将 乘以 。
解题步骤 2.2.8
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.2.9
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.2.10
从 中减去 。
解题步骤 2.2.11
将 乘以 。
解题步骤 2.2.12
将 乘以 。
解题步骤 2.2.13
将 和 相加。
解题步骤 2.3
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 2.4
化简。
解题步骤 2.4.1
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 2.4.2
合并项。
解题步骤 2.4.2.1
组合 和 。
解题步骤 2.4.2.2
将 和 相加。
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
解题步骤 4.1
求一阶导数。
解题步骤 4.1.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 4.1.2
计算 。
解题步骤 4.1.2.1
将 重写为 。
解题步骤 4.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.4
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 4.2
对 的一阶导数是 。
解题步骤 5
解题步骤 5.1
将一阶导数设为等于 。
解题步骤 5.2
从等式两边同时减去 。
解题步骤 5.3
求方程中各项的最小公分母 (LCD)。
解题步骤 5.3.1
求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。
解题步骤 5.3.2
1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。
解题步骤 5.4
将 中的每一项乘以 以消去分数。
解题步骤 5.4.1
将 中的每一项乘以 。
解题步骤 5.4.2
化简左边。
解题步骤 5.4.2.1
约去 的公因数。
解题步骤 5.4.2.1.1
将 中前置负号移到分子中。
解题步骤 5.4.2.1.2
约去公因数。
解题步骤 5.4.2.1.3
重写表达式。
解题步骤 5.5
求解方程。
解题步骤 5.5.1
将方程重写为 。
解题步骤 5.5.2
将 中的每一项除以 并化简。
解题步骤 5.5.2.1
将 中的每一项都除以 。
解题步骤 5.5.2.2
化简左边。
解题步骤 5.5.2.2.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 5.5.2.2.2
用 除以 。
解题步骤 5.5.2.3
化简右边。
解题步骤 5.5.2.3.1
用 除以 。
解题步骤 5.5.3
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
解题步骤 5.5.4
的任意次方根都是 。
解题步骤 5.5.5
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 5.5.5.1
首先,利用 的正值求第一个解。
解题步骤 5.5.5.2
下一步,使用 的负值来求第二个解。
解题步骤 5.5.5.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 6
解题步骤 6.1
将 的分母设为等于 ,以求使表达式无意义的区间。
解题步骤 6.2
求解 。
解题步骤 6.2.1
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
解题步骤 6.2.2
化简 。
解题步骤 6.2.2.1
将 重写为 。
解题步骤 6.2.2.2
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
解题步骤 6.2.2.3
正负 是 。
解题步骤 7
要计算的驻点。
解题步骤 8
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 9
解题步骤 9.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 9.2
用 除以 。
解题步骤 10
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 11
解题步骤 11.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 11.2
化简结果。
解题步骤 11.2.1
去掉圆括号。
解题步骤 11.2.2
用 除以 。
解题步骤 11.2.3
将 和 相加。
解题步骤 11.2.4
最终答案为 。
解题步骤 12
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 13
解题步骤 13.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 13.2
用 除以 。
解题步骤 14
因为二阶导数的值为负数,所以 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极大值
解题步骤 15
解题步骤 15.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 15.2
化简结果。
解题步骤 15.2.1
去掉圆括号。
解题步骤 15.2.2
用 除以 。
解题步骤 15.2.3
从 中减去 。
解题步骤 15.2.4
最终答案为 。
解题步骤 16
这些是 的局部极值。
是一个局部最小值
是一个局部最大值
解题步骤 17