微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 4 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} - 4 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} - 4$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $12 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x^{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} - 4 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} - 4 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 4$ 。

$4 x^{3} - 4$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 4 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 4 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$4 x^{3} = 4$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $4$ 。

$4 x^{3} - 4 = 0$

解题步骤 5.4

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

从 $4 x^{3} - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) - 4 = 0$

解题步骤 5.4.1.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 (- 1) = 0$

解题步骤 5.4.1.3

从 $4 (x^{3}) + 4 (- 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} - 1) = 0$

解题步骤 5.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$4 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

解题步骤 5.4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$4 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

解题步骤 5.4.4

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.4.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.4.1.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

解题步骤 5.4.4.1.2

一的任意次幂都为一。

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

解题步骤 5.4.4.2

去掉多余的括号。

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

解题步骤 5.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 5.6

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.7

将 $x^{2} + x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.1

将 $x^{2} + x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 5.7.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + x + 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.7.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.7.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.4.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.4.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.7.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.7.2.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.7.2.4.5

从 $i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.7.2.4.6

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.7.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.7.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.5.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.7.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.7.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.7.2.5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.7.2.5.5

从 $- i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.7.2.5.6

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.7.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.7.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.8

最终解为使 $4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 1$

解题步骤 8

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(1)}^{2}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

一的任意次幂都为一。

$12 \cdot 1$

解题步骤 9.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$12$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 1$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{4} - 4 \cdot 1$

解题步骤 11.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 4$

解题步骤 11.2.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f (1) = - 3$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = x^{4} - 4 x$ 的局部极值。

$(1, - 3)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例