微积分学示例

$y = f (x)$

解题步骤 1

将 $y = f (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = f (x)$

解题步骤 2

使用函数法则进行微分，即 $f (x)$ 的导数为 $\frac{d f}{d x}$ 。

$\frac{d f}{d x}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

约去 $d$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d f}{d x})$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{f}{x})$

解题步骤 3.2

因为 $f$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{f}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $f \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = f (- x^{- 2})$

解题步骤 3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = f (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5.2

组合 $f$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{f}{x^{2}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{d f}{d x} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用函数法则进行微分，即 $f (x)$ 的导数为 $\frac{d f}{d x}$ 。

$f' (x) = \frac{d f}{d x}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{d f}{d x}$ 。

$\frac{d f}{d x}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{d f}{d x} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{d f}{d x} = 0$

解题步骤 6.2

约去 $d$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$\frac{d f}{d x} = 0$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$\frac{f}{x} = 0$

解题步骤 6.3

等式两边同时乘以 $x$ 。

$f = x (0)$

解题步骤 6.4

将方程重写为 $x (0) = f$ 。

$x (0) = f$

解题步骤 6.5

将 $x$ 乘以 $0$ 。

$0 = f$

解题步骤 6.6

重写 $0 = f$ 使 $f$ 位于左边。

$f = 0$

解题步骤 6.7

变量 $x$ 被消去。

所有实数

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $\frac{d f}{d x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$d x = 0$

解题步骤 7.2

将 $d x = 0$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

将 $d x = 0$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $d$ 除以 $1$ 。

$d = \frac{0}{x}$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.3.1

用 $0$ 除以 $x$ 。

$d = 0$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = A l \cdot l$ real $n u m b e r s, 0$

解题步骤 9

计算在 $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{f}{{(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))}^{2}}$

解题步骤 10

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.1

对 $l$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.2

对 $l$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{1}) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 1} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{f}{{(A l^{2} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.5

对 $l$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{2}) r e a n u m b e r s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 2} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.7

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{f}{{(A l^{3} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.8

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e) r s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.9

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e^{1}) r s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{1 + 1} r s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{2} r s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.12

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r) s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.13

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r^{1}) s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{1 + 1} s)}^{2}}$

解题步骤 10.1.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s)}^{2}}$

解题步骤 10.2

对 $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ 运用乘积法则。

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.1

对 $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.3.2

对 $A l^{3} a n u m b e^{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b)}^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.3.3

对 $A l^{3} a n u m b$ 运用乘积法则。

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m)}^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.3.4

对 $A l^{3} a n u m$ 运用乘积法则。

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u)}^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.3.5

对 $A l^{3} a n u$ 运用乘积法则。

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n)}^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.3.6

对 $A l^{3} a n$ 运用乘积法则。

$- \frac{f}{{(A l^{3} a)}^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.3.7

对 $A l^{3} a$ 运用乘积法则。

$- \frac{f}{{(A l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.3.8

对 $A l^{3}$ 运用乘积法则。

$- \frac{f}{A^{2} {(l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.4

将 ${(l^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{f}{A^{2} l^{3 \cdot 2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.5

将 ${(e^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{2 \cdot 2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

解题步骤 10.6

将 ${(r^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{2 \cdot 2} s^{2}}$

解题步骤 10.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{4} s^{2}}$

解题步骤 11

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例