微积分学示例

cos (2 x) d x

$\cos (2 x) d x$

解题步骤 1

使

u = 2 x

$u = 2 x$ 。然后使

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ ，以便

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设

u = 2 x

$u = 2 x$ 。求

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对

2 x

$2 x$ 求导。

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

2 x

$2 x$ 对

x

$x$ 的导数是

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

2

$2$

2

$2$

解题步骤 1.2

使用

u

$u$ 和

d u

$d u$ 重写该问题。

\int cos (u) \frac{1}{2} d u

$\int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

\int cos (u) \frac{1}{2} d u

$\int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合

cos (u)

$\cos (u)$ 和

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\int \frac{cos (u)}{2} d u

$\int \frac{\cos (u)}{2} d u$

解题步骤 3

由于

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对于

u

$u$ 是常数，所以将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

\frac{1}{2} \int cos (u) d u

$\frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

解题步骤 4

cos (u)

$\cos (u)$ 对

u

$u$ 的积分为

sin (u)

$\sin (u)$ 。

\frac{1}{2} (sin (u) + C)

$\frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

解题步骤 5

化简。

\frac{1}{2} sin (u) + C

$\frac{1}{2} \sin (u) + C$

解题步骤 6

使用

2 x

$2 x$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

\frac{1}{2} sin (2 x) + C

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

$\cos (2 x) d x$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x^{2} & \frac{1}{2} \sqrt{π} & \int x d x \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$