微积分学示例

h (w) = \frac{5 w^{6} - w}{w}

$h (w) = \frac{5 w^{6} - w}{w}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]

$\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ 等于

\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}

$\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ ，其中

f (w) = 5 w^{6} - w

$f (w) = 5 w^{6} - w$ 且

g (w) = w

$g (w) = w$ 。

\frac{w \frac{d}{d w} [5 w^{6} - w] - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w \frac{d}{d w} [5 w^{6} - w] - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则，

5 w^{6} - w

$5 w^{6} - w$ 对

w

$w$ 的导数是

\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]

$\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]$ 。

\frac{w (\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

解题步骤 3

计算

\frac{d}{d w} [5 w^{6}]

$\frac{d}{d w} [5 w^{6}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为

5

$5$ 对于

w

$w$ 是常数，所以

5 w^{6}

$5 w^{6}$ 对

w

$w$ 的导数是

5 \frac{d}{d w} [w^{6}]

$5 \frac{d}{d w} [w^{6}]$ 。

\frac{w (5 \frac{d}{d w} [w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (5 \frac{d}{d w} [w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d w} [w^{n}]

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于

n w^{n - 1}

$n w^{n - 1}$ ，其中

n = 6

$n = 6$ 。

\frac{w (5 (6 w^{5}) + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (5 (6 w^{5}) + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

解题步骤 3.3

将

6

$6$ 乘以

5

$5$ 。

\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

解题步骤 4

计算

\frac{d}{d w} [- w]

$\frac{d}{d w} [- w]$ 。

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解题步骤 4.1

因为

- 1

$- 1$ 对于

w

$w$ 是常数，所以

- w

$- w$ 对

w

$w$ 的导数是

- \frac{d}{d w} [w]

$- \frac{d}{d w} [w]$ 。

\frac{w (30 w^{5} - \frac{d}{d w} [w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - \frac{d}{d w} [w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d w} [w^{n}]

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于

n w^{n - 1}

$n w^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\frac{w (30 w^{5} - 1 \cdot 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - 1 \cdot 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

解题步骤 4.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d w} [w^{n}]

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于

n w^{n - 1}

$n w^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 + (- (5 w^{6}) - - w) \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 + (- (5 w^{6}) - - w) \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.4

化简分子。

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解题步骤 6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

\frac{30 w \cdot w^{5} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{30 w \cdot w^{5} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.1.2

通过指数相加将

w

$w$ 乘以

w^{5}

$w^{5}$ 。

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解题步骤 6.4.1.2.1

移动

w^{5}

$w^{5}$ 。

\frac{30 (w^{5} w) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{30 (w^{5} w) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.1.2.2

将

w^{5}

$w^{5}$ 乘以

w

$w$ 。

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解题步骤 6.4.1.2.2.1

对

w

$w$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{30 (w^{5} w^{1}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{30 (w^{5} w^{1}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.1.2.2.2

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\frac{30 w^{5 + 1} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{30 w^{5 + 1} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

\frac{30 w^{5 + 1} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{30 w^{5 + 1} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.1.2.3

将

5

$5$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{30 w^{6} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{30 w^{6} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

\frac{30 w^{6} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{30 w^{6} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.1.3

将

$- 1$ 移到

$w$ 的左侧。

$\frac{30 w^{6} - 1 \cdot w - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.1.4

将

$- 1 w$ 重写为

$- w$ 。

$\frac{30 w^{6} - w - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.1.5

将

$5$ 乘以

$- 1$ 。

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.1.6

将

$- 5$ 乘以

$1$ 。

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} - - w \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.1.7

乘以

$- - w$ 。

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解题步骤 6.4.1.7.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + 1 w \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.1.7.2

将

$w$ 乘以

$1$ 。

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.1.8

将

$w$ 乘以

$1$ 。

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.2

合并

$30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w$ 中相反的项。

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解题步骤 6.4.2.1

将

$- w$ 和

$w$ 相加。

$\frac{30 w^{6} - 5 w^{6} + 0}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.2.2

将

$30 w^{6} - 5 w^{6}$ 和

$0$ 相加。

$\frac{30 w^{6} - 5 w^{6}}{w^{2}}$

解题步骤 6.4.3

从

$30 w^{6}$ 中减去

$5 w^{6}$ 。

$\frac{25 w^{6}}{w^{2}}$

解题步骤 6.5

约去

$w^{6}$ 和

$w^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从

$25 w^{6}$ 中分解出因数

$w^{2}$ 。

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2}}$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

乘以

$1$ 。

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2} \cdot 1}$

解题步骤 6.5.2.2

约去公因数。

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2} \cdot 1}$

解题步骤 6.5.2.3

重写表达式。

$\frac{25 w^{4}}{1}$

解题步骤 6.5.2.4

用

$25 w^{4}$ 除以

$1$ 。

$25 w^{4}$

微积分学 示例

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