微积分学示例

x cos (2 x)

$x \cos (2 x)$

解题步骤 1

将

x cos (2 x)

$x \cos (2 x)$ 书写为一个函数。

f (x) = x cos (2 x)

$f (x) = x \cos (2 x)$

解题步骤 2

通过计算导数

f (x)

$f (x)$ 的不定积分求函数

F (x)

$F (x)$ 。

F (x) = \int f (x) d x

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

F (x) = \int x cos (2 x) d x

$F (x) = \int x \cos (2 x) d x$

解题步骤 4

利用公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中

u = x

$u = x$ ，

d v = cos (2 x)

$d v = \cos (2 x)$ 。

x (\frac{1}{2} sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} sin (2 x) d x

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

sin (2 x)

$\sin (2 x)$ 。

x \frac{sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} sin (2 x) d x

$x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

解题步骤 5.2

组合

x

$x$ 和

\frac{sin (2 x)}{2}

$\frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

\frac{x sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} sin (2 x) d x

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

\frac{x sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} sin (2 x) d x

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

解题步骤 6

由于

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

\frac{x sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int sin (2 x) d x)

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)$

解题步骤 7

使

u = 2 x

$u = 2 x$ 。然后使

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ ，以便

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设

u = 2 x

$u = 2 x$ 。求

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对

2 x

$2 x$ 求导。

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.1.2

因为

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

2 x

$2 x$ 对

x

$x$ 的导数是

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

使用

$u$ 和

$d u$ 重写该问题。

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 8

组合

$\sin (u)$ 和

$\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

解题步骤 9

由于

$\frac{1}{2}$ 对于

$u$ 是常数，所以将

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

解题步骤 10.2

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

解题步骤 11

$\sin (u)$ 对

$u$ 的积分为

$- \cos (u)$ 。

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

解题步骤 12

将

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$ 重写为

$\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$ 。

$\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$

解题步骤 13

使用

$2 x$ 替换所有出现的

$u$ 。

$\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$\frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x) + C$

解题步骤 15

答案是函数

$f (x) = x \cos (2 x)$ 的不定积分。

$F (x) =$

$\frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x) + C$

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