微积分学示例

e^{x} \cos (x)

$e^{x} \cos (x)$

解题步骤 1

将

e^{x} \cos (x)

$e^{x} \cos (x)$ 书写为一个函数。

f (x) = e^{x} \cos (x)

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

解题步骤 2

通过计算导数

f (x)

$f (x)$ 的不定积分求函数

F (x)

$F (x)$ 。

F (x) = \int f (x) d x

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

F (x) = \int e^{x} \cos (x) d x

$F (x) = \int e^{x} \cos (x) d x$

解题步骤 4

将

e^{x}

$e^{x}$ 和

\cos (x)

$\cos (x)$ 重新排序。

\int \cos (x) e^{x} d x

$\int \cos (x) e^{x} d x$

解题步骤 5

利用公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中

u = \cos (x)

$u = \cos (x)$ ，

d v = e^{x}

$d v = e^{x}$ 。

\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x

$\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

解题步骤 6

由于

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

- 1

$- 1$ 移到积分外。

\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x

$\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x

$\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

解题步骤 7.2

将

\int e^{x} (\sin (x)) d x

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ 乘以

1

$1$ 。

\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x

$\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

解题步骤 7.3

将

e^{x}

$e^{x}$ 和

\sin (x)

$\sin (x)$ 重新排序。

\cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x

$\cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

\cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x

$\cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

解题步骤 8

利用公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中

u = \sin (x)

$u = \sin (x)$ ，

d v = e^{x}

$d v = e^{x}$ 。

\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x

$\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

解题步骤 9

求解

\int e^{x} \cos (x) d x

$\int e^{x} \cos (x) d x$ ，我们发现

\int e^{x} \cos (x) d x

$\int e^{x} \cos (x) d x$ =

\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}

$\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ 。

\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C

$\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C$

解题步骤 10

将

\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C

$\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C$ 重写为

\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C

$\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C$ 。

\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C

$\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C$

解题步骤 11

答案是函数

f (x) = e^{x} \cos (x)

$f (x) = e^{x} \cos (x)$ 的不定积分。

F (x) =

$F (x) =$

\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C

$\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C$

微积分学 示例

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