微积分学示例

$y = x + \sin (x)$

解题步骤 1

将 $y = x + \sin (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x + \sin (x)$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$1 + \cos (x)$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $1 + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 3.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

解题步骤 3.3

从 $0$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = - \sin (x)$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$1 + \cos (x) = 0$

解题步骤 5

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 6

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 8

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 9

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 10

方程 $x = π$ 的解。

$x = π, π$

解题步骤 11

计算在 $x = π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \sin (π)$

解题步骤 12

计算二阶导数。

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解题步骤 12.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \sin (0)$

解题步骤 12.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 0$

解题步骤 12.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 13

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 13.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

解题步骤 13.2

将区间 $(- \infty, π)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $1 + \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 13.2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

解题步骤 13.2.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f' (0) = 1 + 1$

解题步骤 13.2.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (0) = 2$

解题步骤 13.2.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 13.3

将区间 $(π, \infty)$ 内的任一数字（例如 $6$ ）代入一阶导数 $1 + \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 13.3.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

解题步骤 13.3.2

化简结果。

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解题步骤 13.3.2.1

计算 $\cos (6)$ 。

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

解题步骤 13.3.2.2

将 $1$ 和 $0.96017028$ 相加。

$f' (6) = 1.96017028$

解题步骤 13.3.2.3

最终答案为 $1.96017028$ 。

$1.96017028$

解题步骤 13.4

由于一阶导数在 $x = π$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 13.5

对于 $f (x) = x + \sin (x)$ ，不存在局部最大值和最小值。

没有局部最大值或最小值

解题步骤 14

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