微积分学示例

f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}$ ,

[0, 15]

$[0, 15]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中

f (x) = x

$f (x) = x$ 且

g (x) = x^{2} - x + 25

$g (x) = x^{2} - x + 25$ 。

\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

将

x^{2} - x + 25

$x^{2} - x + 25$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

根据加法法则，

x^{2} - x + 25

$x^{2} - x + 25$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

因为

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- x

$- x$ 对

x

$x$ 的导数是

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ 。

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.7

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8

因为

25

$25$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

25

$25$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.9

将

2 x - 1

$2 x - 1$ 和

0

$0$ 相加。

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用分配律。

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2

通过指数相加将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.1

移动

x

$x$ 。

\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2

将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

2

$2$ 。

\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.4

乘以

- x \cdot - 1

$- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.4.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.4.2

将

x

$x$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

合并

x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x

$x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.2.1

将

- x

$- x$ 和

x

$x$ 相加。

\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2

将

x^{2} + 25 - 2 x^{2}

$x^{2} + 25 - 2 x^{2}$ 和

0

$0$ 相加。

\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.3

从

x^{2}

$x^{2}$ 中减去

2 x^{2}

$2 x^{2}$ 。

\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1

将

25

$25$ 重写为

5^{2}

$5^{2}$ 。

\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.2

将

- x^{2}

$- x^{2}$ 和

5^{2}

$5^{2}$ 重新排序。

\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

a = 5

$a = 5$ 和

b = x

$b = x$ 。

f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

f (x)

$f (x)$ 对

x

$x$ 的一阶导数是

\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$ 。

\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于

0

$0$ ，然后求解方程

\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于

0

$0$ 。

\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

(5 + x) (5 - x) = 0

$(5 + x) (5 - x) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解

x

$x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

5 + x = 0

$5 + x = 0$

5 - x = 0

$5 - x = 0$

解题步骤 1.2.3.2

将

5 + x

$5 + x$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将

5 + x

$5 + x$ 设为等于

0

$0$ 。

5 + x = 0

$5 + x = 0$

解题步骤 1.2.3.2.2

从等式两边同时减去

5

$5$ 。

x = - 5

$x = - 5$

x = - 5

$x = - 5$

解题步骤 1.2.3.3

将

5 - x

$5 - x$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将

5 - x

$5 - x$ 设为等于

0

$0$ 。

5 - x = 0

$5 - x = 0$

解题步骤 1.2.3.3.2

求解

x

$x$ 的

5 - x = 0

$5 - x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.2.1

从等式两边同时减去

5

$5$ 。

- x = - 5

$- x = - 5$

解题步骤 1.2.3.3.2.2

将

- x = - 5

$- x = - 5$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.3.2.2.1

将

- x = - 5

$- x = - 5$ 中的每一项都除以

- 1

$- 1$ 。

\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.3.2.2.2.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x = \frac{- 5}{- 1}

$x = \frac{- 5}{- 1}$

x = \frac{- 5}{- 1}

$x = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.2.2.3.1

用

- 5

$- 5$ 除以

- 1

$- 1$ 。

x = 5

$x = 5$

x = 5

$x = 5$

x = 5

$x = 5$

x = 5

$x = 5$

x = 5

$x = 5$

解题步骤 1.2.3.4

最终解为使

(5 + x) (5 - x) = 0

$(5 + x) (5 - x) = 0$ 成立的所有值。

x = - 5, 5

$x = - 5, 5$

x = - 5, 5

$x = - 5, 5$

x = - 5, 5

$x = - 5, 5$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为

0

$0$ 或无意义的

x

$x$ 值，计算

\frac{x}{x^{2} - x + 25}

$\frac{x}{x^{2} - x + 25}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在

x = - 5

$x = - 5$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入

- 5

$- 5$ 替换

x

$x$ 。

\frac{- 5}{{(- 5)}^{2} - (- 5) + 25}

$\frac{- 5}{{(- 5)}^{2} - (- 5) + 25}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简分母。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对

- 5

$- 5$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\frac{- 5}{25 - (- 5) + 25}

$\frac{- 5}{25 - (- 5) + 25}$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 5

$- 5$ 。

\frac{- 5}{25 + 5 + 25}

$\frac{- 5}{25 + 5 + 25}$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

将

25

$25$ 和

5

$5$ 相加。

\frac{- 5}{30 + 25}

$\frac{- 5}{30 + 25}$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

将

30

$30$ 和

25

$25$ 相加。

\frac{- 5}{55}

$\frac{- 5}{55}$

\frac{- 5}{55}

$\frac{- 5}{55}$

解题步骤 1.4.1.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

约去

- 5

$- 5$ 和

55

$55$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1.1

从

- 5

$- 5$ 中分解出因数

5

$5$ 。

\frac{5 (- 1)}{55}

$\frac{5 (- 1)}{55}$

解题步骤 1.4.1.2.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1.2.1

从

55

$55$ 中分解出因数

5

$5$ 。

\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

解题步骤 1.4.1.2.2.1.2.2

约去公因数。

\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

解题步骤 1.4.1.2.2.1.2.3

重写表达式。

\frac{- 1}{11}

$\frac{- 1}{11}$

\frac{- 1}{11}

$\frac{- 1}{11}$

\frac{- 1}{11}

$\frac{- 1}{11}$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将负号移到分数的前面。

- \frac{1}{11}

$- \frac{1}{11}$

- \frac{1}{11}

$- \frac{1}{11}$

- \frac{1}{11}

$- \frac{1}{11}$

- \frac{1}{11}

$- \frac{1}{11}$

解题步骤 1.4.2

在

x = 5

$x = 5$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入

5

$5$ 替换

x

$x$ 。

\frac{5}{{(5)}^{2} - (5) + 25}

$\frac{5}{{(5)}^{2} - (5) + 25}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

约去

5

$5$ 和

{(5)}^{2} - (5) + 25

${(5)}^{2} - (5) + 25$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

从

5

$5$ 中分解出因数

5

$5$ 。

\frac{5 \cdot 1}{5^{2} - (5) + 25}

$\frac{5 \cdot 1}{5^{2} - (5) + 25}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.2.1

从

5^{2}

$5^{2}$ 中分解出因数

5

$5$ 。

\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 - (5) + 25}

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 - (5) + 25}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2.2

从

- (5)

$- (5)$ 中分解出因数

5

$5$ 。

\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1 + 25}

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1 + 25}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2.3

从

5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1

$5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1$ 中分解出因数

5

$5$ 。

\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 25}

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 25}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2.4

从

25

$25$ 中分解出因数

5

$5$ 。

\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)}

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2.5

从

5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)

$5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)$ 中分解出因数

5

$5$ 。

\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2.6

约去公因数。

\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2.7

重写表达式。

\frac{1}{5 - 1 + 5}

$\frac{1}{5 - 1 + 5}$

\frac{1}{5 - 1 + 5}

$\frac{1}{5 - 1 + 5}$

\frac{1}{5 - 1 + 5}

$\frac{1}{5 - 1 + 5}$

解题步骤 1.4.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

从

5

$5$ 中减去

1

$1$ 。

\frac{1}{4 + 5}

$\frac{1}{4 + 5}$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

将

4

$4$ 和

5

$5$ 相加。

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

(- 5, - \frac{1}{11}), (5, \frac{1}{9})

$(- 5, - \frac{1}{11}), (5, \frac{1}{9})$

(- 5, - \frac{1}{11}), (5, \frac{1}{9})

$(- 5, - \frac{1}{11}), (5, \frac{1}{9})$

(- 5, - \frac{1}{11}), (5, \frac{1}{9})

$(- 5, - \frac{1}{11}), (5, \frac{1}{9})$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

(5, \frac{1}{9})

$(5, \frac{1}{9})$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在

x = 0

$x = 0$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入

0

$0$ 替换

x

$x$ 。

\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 25}

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 25}$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简分母。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

\frac{0}{0 - (0) + 25}

$\frac{0}{0 - (0) + 25}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

0

$0$ 。

\frac{0}{0 + 0 + 25}

$\frac{0}{0 + 0 + 25}$

解题步骤 3.1.2.1.3

将

0

$0$ 和

0

$0$ 相加。

\frac{0}{0 + 25}

$\frac{0}{0 + 25}$

解题步骤 3.1.2.1.4

将

0

$0$ 和

25

$25$ 相加。

\frac{0}{25}

$\frac{0}{25}$

\frac{0}{25}

$\frac{0}{25}$

解题步骤 3.1.2.2

用

0

$0$ 除以

25

$25$ 。

0

$0$

0

$0$

0

$0$

解题步骤 3.2

在

x = 15

$x = 15$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入

15

$15$ 替换

x

$x$ 。

\frac{15}{{(15)}^{2} - (15) + 25}

$\frac{15}{{(15)}^{2} - (15) + 25}$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对

15

$15$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\frac{15}{225 - (15) + 25}

$\frac{15}{225 - (15) + 25}$

解题步骤 3.2.2.1.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

15

$15$ 。

\frac{15}{225 - 15 + 25}

$\frac{15}{225 - 15 + 25}$

解题步骤 3.2.2.1.3

从

225

$225$ 中减去

15

$15$ 。

\frac{15}{210 + 25}

$\frac{15}{210 + 25}$

解题步骤 3.2.2.1.4

将

210

$210$ 和

25

$25$ 相加。

\frac{15}{235}

$\frac{15}{235}$

\frac{15}{235}

$\frac{15}{235}$

解题步骤 3.2.2.2

约去

15

$15$ 和

235

$235$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1

从

15

$15$ 中分解出因数

5

$5$ 。

\frac{5 (3)}{235}

$\frac{5 (3)}{235}$

解题步骤 3.2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.2.1

从

235

$235$ 中分解出因数

5

$5$ 。

\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 47}

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 47}$

解题步骤 3.2.2.2.2.2

约去公因数。

\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 47}

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 47}$

解题步骤 3.2.2.2.2.3

重写表达式。

\frac{3}{47}

$\frac{3}{47}$

\frac{3}{47}

$\frac{3}{47}$

\frac{3}{47}

$\frac{3}{47}$

\frac{3}{47}

$\frac{3}{47}$

\frac{3}{47}

$\frac{3}{47}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

(0, 0), (15, \frac{3}{47})

$(0, 0), (15, \frac{3}{47})$

(0, 0), (15, \frac{3}{47})

$(0, 0), (15, \frac{3}{47})$

解题步骤 4

将每个

x

$x$ 的值对应所得的

f (x)

$f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值

f (x)

$f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值

f (x)

$f (x)$ 时产生。

最大绝对值：

(5, \frac{1}{9})

$(5, \frac{1}{9})$

最小绝对值：

(0, 0)

$(0, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例