微积分学示例

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$

解题步骤 1

使用半角公式将

\frac{1 - cos (2 x)}{2}

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ 的形式。

\int \frac{1 - cos (2 x)}{2} d x

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

解题步骤 2

由于

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

\frac{1}{2} \int 1 - cos (2 x) d x

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

\frac{1}{2} (\int d x + \int - cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

\frac{1}{2} (x + C + \int - cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 5

由于

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

- 1

$- 1$ 移到积分外。

\frac{1}{2} (x + C - \int cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 6

使

u = 2 x

$u = 2 x$ 。然后使

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ ，以便

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

设

u = 2 x

$u = 2 x$ 。求

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

对

2 x

$2 x$ 求导。

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 6.1.2

因为

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

2 x

$2 x$ 对

x

$x$ 的导数是

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

2

$2$

2

$2$

解题步骤 6.2

使用

u

$u$ 和

d u

$d u$ 重写该问题。

\frac{1}{2} (x + C - \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (x + C - \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 7

组合

cos (u)

$\cos (u)$ 和

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 8

由于

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对于

u

$u$ 是常数，所以将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int cos (u) d u))

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

解题步骤 9

cos (u)

$\cos (u)$ 对

u

$u$ 的积分为

sin (u)

$\sin (u)$ 。

\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 10

化简。

\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 11

使用

2 x

$2 x$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} sin (2 x)) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

解题步骤 12

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

组合

sin (2 x)

$\sin (2 x)$ 和

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\frac{1}{2} (x - \frac{sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 12.2

运用分配律。

\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 12.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$x$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 12.4

乘以

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 12.4.2

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

微积分学 示例

微积分学示例