微积分学示例

\infty \sum n = 0 {(\frac{1}{2})}^{n}

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

解题步骤 1

无穷等比数列的和可以用公式

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ 来求得，其中

a

$a$ 是首项，

r

$r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式

r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

$r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将

a_{n}

$a_{n}$ 和

a_{n + 1}

$a_{n + 1}$ 代入公式，求

r

$r$ 。

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

解题步骤 2.2

约去

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ 和

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ 中分解出因数

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ 。

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

乘以

1

$1$ 。

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

解题步骤 2.2.2.4

用

$\frac{1}{2}$ 除以

$1$ 。

$r = \frac{1}{2}$

解题步骤 3

Since

$| r | < 1$ , the series converges.

解题步骤 4

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 4.1

将

$0$ 代入

${(\frac{1}{2})}^{n}$ 以替换

$n$ 。

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对

$\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

解题步骤 4.2.2

任何数的

$0$ 次方都是

$1$ 。

$a = \frac{1}{2^{0}}$

解题步骤 4.2.3

任何数的

$0$ 次方都是

$1$ 。

$a = \frac{1}{1}$

解题步骤 4.2.4

用

$1$ 除以

$1$ 。

$a = 1$

解题步骤 5

将公比和首项的值代入求和公式。

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

将

$1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

解题步骤 6.1.3

从

$2$ 中减去

$1$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2

将分子乘以分母的倒数。

$1 \cdot 2$

解题步骤 6.3

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$2$

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