微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x}$ ,

$a = 9$

解题步骤 1

思考一下可用于求在

$a$ 处线性化的函数。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

解题步骤 2

将

$a = 9$ 的值代入线性函数中。

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

解题步骤 3

计算

$f (9)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的

$9$ 替换变量

$x$ 。

$f (9) = \sqrt{9}$

解题步骤 3.2

化简

$\sqrt{9}$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$(\sqrt{9})$

解题步骤 3.2.2

去掉圆括号。

$\sqrt{9}$

解题步骤 3.2.3

将

$9$ 重写为

$3^{2}$ 。

$\sqrt{3^{2}}$

解题步骤 3.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$3$

解题步骤 4

求导数，并计算其在

$9$ 处的值。

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解题步骤 4.1

求

$f (x) = \sqrt{x}$ 的导数。

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解题步骤 4.1.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{x}$ 重写成

$x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 4.1.3

要将

$- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 4.1.4

组合

$- 1$ 和

$\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 4.1.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.1

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 4.1.6.2

从

$1$ 中减去

$2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 4.1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.1.8

化简。

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解题步骤 4.1.8.1

使用负指数规则

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.8.2

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

使用表达式中的

$9$ 替换变量

$x$ 。

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简分母。

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解题步骤 4.3.1.1

将

$9$ 重写为

$3^{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 4.3.1.3

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 4.3.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

解题步骤 4.3.1.4

计算指数。

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.3.2

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$\frac{1}{6}$

解题步骤 5

将分量代入线性方程中以求在

$a$ 处的线性化。

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} (x - 9)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

解题步骤 6.1.2

组合

$\frac{1}{6}$ 和

$x$ 。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

解题步骤 6.1.3

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

从

$6$ 中分解出因数

$3$ 。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

解题步骤 6.1.3.2

从

$- 9$ 中分解出因数

$3$ 。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

解题步骤 6.1.3.3

约去公因数。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

解题步骤 6.1.3.4

重写表达式。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

解题步骤 6.1.4

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$- 3$ 。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

解题步骤 6.1.5

将负号移到分数的前面。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

解题步骤 6.2

要将

$3$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$L (x) = \frac{x}{6} + 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 6.3

组合

$3$ 和

$\frac{2}{2}$ 。

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 6.4

在公分母上合并分子。

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

解题步骤 6.5

化简分子。

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解题步骤 6.5.1

将

$3$ 乘以

$2$ 。

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{6 - 3}{2}$

解题步骤 6.5.2

从

$6$ 中减去

$3$ 。

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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