微积分学示例

x \sin (x^{2})

$x \sin (x^{2})$

解题步骤 1

将

x \sin (x^{2})

$x \sin (x^{2})$ 书写为一个函数。

f (x) = x \sin (x^{2})

$f (x) = x \sin (x^{2})$

解题步骤 2

通过计算导数

f (x)

$f (x)$ 的不定积分求函数

F (x)

$F (x)$ 。

F (x) = \int f (x) d x

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

F (x) = \int x \sin (x^{2}) d x

$F (x) = \int x \sin (x^{2}) d x$

解题步骤 4

使

u = x^{2}

$u = x^{2}$ 。然后使

d u = 2 x d x

$d u = 2 x d x$ ，以便

\frac{1}{2} d u = x d x

$\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设

u = x^{2}

$u = x^{2}$ 。求

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对

x^{2}

$x^{2}$ 求导。

\frac{d}{d x} [x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

2 x

$2 x$

2 x

$2 x$

解题步骤 4.2

使用

u

$u$ 和

d u

$d u$ 重写该问题。

\int \sin (u) \frac{1}{2} d u

$\int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

\int \sin (u) \frac{1}{2} d u

$\int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5

组合

\sin (u)

$\sin (u)$ 和

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\int \frac{\sin (u)}{2} d u

$\int \frac{\sin (u)}{2} d u$

解题步骤 6

由于

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对于

u

$u$ 是常数，所以将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

\frac{1}{2} \int \sin (u) d u

$\frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

解题步骤 7

\sin (u)

$\sin (u)$ 对

u

$u$ 的积分为

- \cos (u)

$- \cos (u)$ 。

\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)

$\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

\frac{1}{2} (- \cos (u)) + C

$\frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

解题步骤 8.2

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

\cos (u)

$\cos (u)$ 。

- \frac{\cos (u)}{2} + C

$- \frac{\cos (u)}{2} + C$

- \frac{\cos (u)}{2} + C

$- \frac{\cos (u)}{2} + C$

解题步骤 9

使用

x^{2}

$x^{2}$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

- \frac{\cos (x^{2})}{2} + C

$- \frac{\cos (x^{2})}{2} + C$

解题步骤 10

重新排序项。

- \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C

$- \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

解题步骤 11

答案是函数

f (x) = x \sin (x^{2})

$f (x) = x \sin (x^{2})$ 的不定积分。

F (x) =

$F (x) =$

- \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C

$- \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

x \sin x^{2}

$x \sin x^{2}$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π











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1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

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



∞

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



!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$