微积分学示例

$x = 2 y - y^{2}$

解题步骤 1

将 $2 y$ 和 $- y^{2}$ 重新排序。

$x = - y^{2} + 2 y$

解题步骤 2

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 2.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 2.1.1

对 $- y^{2} + 2 y$ 进行配方。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

解题步骤 2.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.1.3.2.1.2

重写表达式。

$d = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.1.1.3.2.1.3

移动 $\frac{1}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 2.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.3

用 $4$ 除以 $- 4$ 。

$e = 0 - - 1$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 + 1$

解题步骤 2.1.1.4.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$e = 1$

解题步骤 2.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(y - 1)}^{2} + 1$ 。

$- {(y - 1)}^{2} + 1$

解题步骤 2.1.2

将 $x$ 设为等于右边新的值。

$x = - {(y - 1)}^{2} + 1$

解题步骤 2.2

使用顶点式 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 1$

解题步骤 2.3

因为 $a$ 的值是负数，所以抛物线开口向左。

开口向左

解题步骤 2.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(1, 1)$

解题步骤 2.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 2.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 2.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 2.6

求焦点。

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解题步骤 2.6.1

如果抛物线开口向左或向右，则可通过让 $p$ 加上 X 轴坐标 $h$ 求得抛物线的焦点。

$(h + p, k)$

解题步骤 2.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{3}{4}, 1)$

解题步骤 2.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$y = 1$

解题步骤 2.8

求准线。

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解题步骤 2.8.1

如果抛物线开口向左或向右，那么抛物线的准线为通过从顶点的 x 坐标 $h$ 减去 $p$ 求得的正垂线。

$x = h - p$

解题步骤 2.8.2

将 $p$ 和 $h$ 的已知值代入公式并化简。

$x = \frac{5}{4}$

解题步骤 2.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向左

顶点： $(1, 1)$

焦点： $(\frac{3}{4}, 1)$

对称轴： $y = 1$

准线： $x = \frac{5}{4}$

方向：开口向左

顶点： $(1, 1)$

焦点： $(\frac{3}{4}, 1)$

对称轴： $y = 1$

准线： $x = \frac{5}{4}$

解题步骤 3

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 的值 $- 1$ 代入 $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ 。在本例中，该点为 $(- 1, 2.41421356)$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 - (- 1)}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 + 1}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = 1 + \sqrt{2}$

解题步骤 3.1.2.2

最终答案为 $1 + \sqrt{2}$ 。

$y = 1 + \sqrt{2}$

解题步骤 3.1.3

把 $1 + \sqrt{2}$ 转换成小数。

$= 2.41421356$

解题步骤 3.2

将 $x$ 的值 $- 1$ 代入 $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ 。在本例中，该点为 $(- 1, - 0.41421356)$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 - (- 1)}$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 + 1}$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 3.2.2.2

最终答案为 $1 - \sqrt{2}$ 。

$y = 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 3.2.3

把 $1 - \sqrt{2}$ 转换成小数。

$= - 0.41421356$

解题步骤 3.3

将 $x$ 的值 $0$ 代入 $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ 。在本例中，该点为 $(0, 2)$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 1 + \sqrt{1 - (0)}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 1 + \sqrt{1 + 0}$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 1 + \sqrt{1}$

解题步骤 3.3.2.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (0) = 1 + 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 2$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 3.3.3

把 $2$ 转换成小数。

$= 2$

解题步骤 3.4

将 $x$ 的值 $0$ 代入 $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ 。在本例中，该点为 $(0, 0)$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 1 - \sqrt{1 - (0)}$

解题步骤 3.4.2

化简结果。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 1 - \sqrt{1 + 0}$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 1 - \sqrt{1}$

解题步骤 3.4.2.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (0) = 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 1 - 1$

解题步骤 3.4.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.4.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 3.4.3

把 $0$ 转换成小数。

$= 0$

解题步骤 3.5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

解题步骤 4

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向左

顶点： $(1, 1)$

焦点： $(\frac{3}{4}, 1)$

对称轴： $y = 1$

准线： $x = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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