微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

解题步骤 1.3

因为指数 $x^{2}$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x^{2}}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} (2 x)}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

重新排序 $e^{x^{2}} (2 x)$ 的因式。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{x^{2}} x}$

解题步骤 3.5.2

将 $2 e^{x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 x e^{x^{2}}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{2 x e^{x^{2}}}$

解题步骤 4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.1

从 $2 x e^{x^{2}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

解题步骤 4.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

解题步骤 4.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 4.2

因为项 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

解题步骤 5.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

解题步骤 5.1.3

因为指数 $x^{2}$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x^{2}}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

解题步骤 5.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

解题步骤 5.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \cdot 2 x}$

解题步骤 5.3.5

化简。

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解题步骤 5.3.5.1

重新排序 $e^{x^{2}} (2 x)$ 的因式。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x^{2}} x}$

解题步骤 5.3.5.2

将 $2 e^{x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x e^{x^{2}}}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x^{2}}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x e^{x^{2}}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

乘以 $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 8.1.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 0$

解题步骤 8.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{4} \cdot 0$

解题步骤 8.2

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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