微积分学示例

$x = \cot (y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.1.2

$\cot (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc^{2} (u)$ 。

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \csc^{2} (y) y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = - \csc^{2} (y) y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $- \csc^{2} (y) y' = 1$ 。

$- \csc^{2} (y) y' = 1$

解题步骤 5.2

将 $- \csc^{2} (y) y' = 1$ 中的每一项除以 $- \csc^{2} (y)$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- \csc^{2} (y) y' = 1$ 中的每一项都除以 $- \csc^{2} (y)$ 。

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{1}{- \csc^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{1}{- \csc^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $\csc^{2} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{1}{- \csc^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{- \csc^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \csc^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{1}{\csc^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y' = - \frac{1^{2}}{\csc^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $\frac{1^{2}}{\csc^{2} (y)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\csc (y)})}^{2}$ 。

$y' = - {(\frac{1}{\csc (y)})}^{2}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $\csc (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = - {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}})}^{2}$

解题步骤 5.2.3.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (y)}$ 。

$y' = - {(1 \sin (y))}^{2}$

解题步骤 5.2.3.6

将 $\sin (y)$ 乘以 $1$ 。

$y' = - \sin^{2} (y)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} (y)$

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