微积分学示例

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 4$

解题步骤 1

根据加法法则， $3 x^{5} - 5 x^{3} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

解题步骤 4.2

将 $15 x^{4} - 15 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

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